Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

12 Erstes Kapitel. Die erste Variation bei der einfachsten,Klasse von Aufgaben.
hätte daher f(xo + h) - f(xo) dasselbe oder das entgegengesetzte
Zeichen wie f'(xo), jenachdem h positiv oder negativ. Es könnte
also weder ein Maximumi noch ein Minimum stattfinden.
Derselbe Schluß läßt sich nicht anwenden, wenn x. mit einem
der Endpunkte des Intervalls [ab] zusammenfällt. Nehmen wir an,
daß a < b, so kann h für x. ==- a nur positive, für x. = b nur negative Werte annehmen. Daher folgt aus (10): Für das Eintreten eines
relativen Maximums (Minimums) im unteren Endpunkt a des Intervalls [ab] ist notwendig daß f(a) ~ 0 (0 0), im oberen Endpunkt b:
-_ -- +' -/f(b) 0 (~ 0), wobei f' und f die vordere und hintere Derivierte
bedeuten.l)
Wenn in einer gewissen Umgebung eines inneren Punktes xQ die
n ersten Ableitungen von f(x) existieren und stetig sind, so gilt der
Satz 2): Wenn
f'(x0) = 0, f() = 0,..., f/("-(x) ( =, f(z)(x0) + 0,
so besitzt die Fuinktion f(x) /iir x = xo kein Extremum, wenn n ungerade; dagegen besitzt sie ein relatives Extremum, falls n gerade ist,
und zwar ein eigentliches Minimum, wenn f(n)(x,) > 0, ein eigentliches
Maximum, wenn f" (X.) < 0.
Denn unter den gemachten Annahmen läßt sich der Taylor'sche
Satz anwenden, nach welchem
/'(~o^ +7 ) - f_(xo ) ~=. /'('(o + (X L), 0 < 0 < 1, (11)
woraus unter Zuziehung der vorausgesetzten Stetigkeit von f() )(x) der
Satz unmittelbar folgt.
Für die Endpunkte ist der Satz wieder ähnlich wie oben zu
modifizieren.
Aus den oben gegebenen Definitionen folgt unmittelbar: Besitzt die
Funktion f(x) für x = x" ein absolutes Maximumi (Minimum) in bezug
auf ein den Punkt x. enthaltendes Intervall [ab], so besitzt sie a fortiori
auch ein relatives Maximum (Minimum) für x = x0. Hierdurch reduziert
sich die Bestimmung der absoluten Extrema auf die der relativen.
Hat man letztere gefunden und weiß man a priori, daß die Funktion f(x)
im Intervall [ab] ein absolutes Maximum (Minimum) besitzt, so hat
man nur unter den relativen Maximalwerten (Minimalwerten) den
1) Vgl. A IV 1.
%2 Vgl. p. 11, Fußnote 2).