Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 30. Die Weierstraß'sche Bedingung und die 8-Funktion. 245
Die beiden Winkel 0 und Ö sind nur bis auf additive Vielfache von
2z bestimmt; man kann die letzteren stets so wählen, daß
- Z < Co ^< Z.
Da alsdann sin (o - r) zwischen den Integrationsgrenzen sein Zeichen
nicht wechselt, so können wir den ersten Mittelwertsatz anwenden
und erhalten die folgende Relation') zwischen der 8-Funktion und der
Funktion F,:
8(x, y; cos 0, sin 0; cos 6, sin 0)
= (1 - cos (-o)) F(x, y, cos 0*, sin 0*), (125)
wo 0* einen Mittelwert zwischen 0 und 6 bedeutet.
Aus diesem Satz ergeben sich eine Anzahl wichtiger Folgerungen:
1. Lassen wir 0 gegen 0 konvergieren, so kommt
L F,,y; q; - (x, y, p, q). (126)
= 1 - cos ( - 0)
Daraus folgt, daß die Bedingung (II) eine Folge der Bedingung (IV) ist.
2. Die Bedingung (IV) ist ihrerseits in der stärkeren Bedingung:
F,(x, y, cos Y, sin y) > 0 (IIa)
für jeden Punkt (x, y) von ~o und für jeden Wert des Winkels 7,
enthalten.
3. Die 8-Funktion verschwindet stets, wenn 0 == 0 (~ordentliches
Verschwinden" nach KNESER), und es ist dann stets auch
0=0o_ 0.
aö ~
Für einen Wert 0= 0 kann die 8-Funktion nur dann verschwinden
(~außerordentliches Verschwinden"), wenn F, (x, y, cos y, sin y) für
einen Wert y = 0* zwischen 0 und Ö verschwindet.
4. Wenn in einem Punkt (x, y) die beiden Funktionen F(x, y,
cos 7, sin y) und F1(x, y, cos 7, sin y) für alle Werte von y von Null
verschieden sind, so müssen beide in diesem Punkt für alle Werte
von y dasselbe Zeichen haben..2)
Dies folgt aus (125), wenn man für die 8-Funktion ihren Ausdruck (120) einsetzt und dem 0 einen der beiden speziellen Werte
gibt, für welche
F,(x, y, cos 0, sin 0) cos 0 + Fy,(x, y, cos 0, sin 0) sin 0 =0.
~) Satz und Beweis nach WTEIERSTRASS, Vorlesungen (1882). Vgl. auch die
analoge Formel beim x-Problem, ~ 18, Gleichung (28).
2) Von KNESER auf anderem Weg bewiesen, vgl. Lehrbuch, p. 53.