Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 29. Die Jacobi'sche Bedingung für den Fall der Parameterdarstellung. 235
x - x + P.o = o (r - sin r)
(108)
y - y1 + k = co (1 - cos s)
liegen, so daß also die den beiden Punkten P, und P2 entsprechenden Werte
T = r und r == T2 der Ungleichung genügen
0<,< <, < 2.
Für die Funktion F1 erhält man
- = _ _ ij _ _ +
I - y1 + k(V'2+), 8 i o3 ie + 2\ 8 c sin4
F1 ist also positiv entlang dem Zykloidenbogen P1 P2 und die Bedingung (II')
ist erfüllt.
Für die Weierstraß'sche Funktion @(r, r1) findet man nach einfacher
Rtechnung
(r, vir)-=4 4c: 2 s sncosn - os sin 2 tg --- 2 tg
Daraus folgt, daß der Parameter r1' des zu P1 konjugierten Punktes P1' entweder ein Vielfaches von 2zr sein muß, in welchem Fall P1' sicher nicht dem
Bogen P1 Ps angehört, oder aber r,' muß der transzendenten Gleichung genügen
- 2 t = r1 -2 tg. (109)
Wächst v von 0 bis 7r, so nimmt die Funktion - 2 tg - beständig ab
von 0 bis - c; wächst r weiter von t bis 2u, so nimmt sie beständig ab
von -+ c bis 2x. Daraus folgt, daß r =z die einzige Wurzel der Gleichung
(109) ist, welche zwischen 0 und 2~ liegt. Daher gibt es auf dem Bogen P P
keinent zu P1 konjugierten Punkt, also ist auch die Bedingung (III) erfüllt.1)
b) Die Kneser'sche Form der Jacobi'schen Bedingung:
Man kann nach KNESER2) die Jacobi'sche Bedingung noch in
eine andere Form bringen, bei welcher statt des allgemeinen Integrals
(64) der Euler'schen Differentialgleichung die Extremalenschar durch
den Punkt P1 zugrunde gelegt wird. Aus dieser zweiten Form ergibt
sich dann auch am naturgemäßesten die geometrische Bedeutung der
konjugierten Punkte.
1) Hierzu noch die Übungsaufgaben Nr. 1-6, 10, 12, 16-18 am Ende
dieses Kapitels.
2) Vgl. KNESER, Lehrbuch, ~ 31; vgl. auch oben die analogen Entwicklungen
von ~ 13.