Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

234 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
falls eine solche im Intervall (60) existiert, so läßt sich die Bedingung (III) auch schreiben:
t2 < t.
ty ist der Parameter des zum Punkt P1 konjugierten Punktes P1'.
Allgemeiner nennen wir einen Punkt von o * "im weiteren Sinn
zu P l konjugiert", wenn sein Parameter der Gleichung (106) genügt.
Der konjugierte Punkt ist von der Wahl des Parameters t und
der Integrationskonstanten a, ß unabhängig. Denn wendet man auf
die Größen t, c, ~ eine Transformation von der Form (71) an, so
findet man nach einer leichten Rechnung zwischen der Funktion
O(t, t,) und ihrer transformierten O(i, fi) die Relation
(t t) = (t) A (t)V@(t, t), (107)
und der Faktor )(t) l(t1)V ist nach (72) von Null verschieden. Dasselbe Resultat kann man auch mit WEIERSTRASS aus der geometrischen Bedeutung des konjugierten Punktes schließen.
Beispiel XIV: (Siehe p. 206).
Wir haben hier nach (26)
also entlang irgend einer Extremalen (27)
1
^iR2
Die Bedingung (II') für ein Maximum ist also stets erfüllt.
Ferner berechnet man aus dem allgemeinen Integral (27):
O(t, tj) = - 2 sin (t - tj).
Also ist
ti = tl +.
Der zum Punkt P1 konjugierte Punkt P1' ist also der ihm auf dem betreffenden Kreis diametral gegenüberliegende Punkt. Daraus folgt (vgl. Fig. 31):
Wenn R > 2 l PP,2 1, so erfüllt von den beiden Kreisbogen P1 P. P9 und
P1 P4P, nur derjenige, welcher kleiner ist als ein Halbkreis, also P1 P P, die
Bedingung (III).
Wenn B = 1 PP2 I, so ist die Bedingung (III) zwar auch noch erfüllt,
aber es fällt jetzt der Punkt P2 mit dem konjugierten Punkt P1' zusammen.
Beispiel XV: Brachistochrone 1) (siehe p. 207).
Wir nehmen an, daß die beiden Endpunkte P1 und Pa zwischen den
beiden Spitzen r = 0 und = 2 t der Zykloide
1) Vgl. LINDFLÖF-MOIGNOI, loc. cit., p. 231, und WEIERSTRASS, Vorlesungen.