Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 27. Existenztheoreme für Extremalen. 215
b) Abhängigkeit der Lösung von den Anfangswerten:
Wir betrachten jetzt die durch die Anfangsbedingungen (46a)
charakterisierte Lösung (46) in ihrer Abhängigkeit von den Anfangswerten x., y0, 0o und schreiben sie dann entsprechend
x = (s; xo, Yo, o) 0
y = (s; xo, yo, O) (49)
0 = O(s; xo, Y, 0)
Aus der allgemeinen Theorie ergibt sich dann nach ~ 24, a), daß
die Funktionen X, S), 0 folgende Eigenschaften besitzen:
1. Die Funktionen X, S), 0 sind eindeutig definiert und stetig in
dem durch die Bedingungen
(x., yo) im Innern von; - oo < 0 < + o; (50
F (x0 o, cos 00, sin 00) + 0; aO < s < j
definierten Bereich. In demselben Bereich sind die Funktionen
x,Xs ss;, Vs, Vss1; o, os
als Funktionen von s, x0, Y o 00 von der Klasse C', wie sich zum Teil
aus der allgemeinen Theorie (~ 24, a)), zum Teil aus der speziellen
Form ) des Systems (43) ergibt.
2. Die Funktionen X, 5), 0 genügen ferner den Anfangsbedingungen
)(0; xo, yo o)-8 (x1).(0; xo, Yo, 00) O=
0(0; Xo, Yo, 0o) 0o
identisch in x., yo, 00, woraus wegen (43) folgt
3s(0; Xo yo, 0) = cos o 3, (0; vo, yo, 0o) =sin 00 (51a)
und weiter durch partielle Differentiation
X, (0; x~ yo~ 0) 1, ),(O; xo y, 00) = O
O (0; x~ 0o) 0, 0)= 0, )(O; Xo, Yo, O)=. (5b)
3o(0; xo, yo, 0) = 0, )o0(0; Xo, yo, 0o)= 0
3. Überdies ist die Funktionaldeterminante
D(s; xo yo, 00) = a ( ~ e, + (52)
'(Si^^o^o)-!^ -?)4a (52)
L( oyo, oo)
im ganzen Bereich (50).
1) Vgl. unter a) den Beweis, daß die Extremale (47) von der Klasse C"' ist.