Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

8 Erstes Kapitel. Die erste Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
ähnlichen Abschluß gekommen ist wie bei den einfachen Integralen,
so werden wir uns bei der Behandlung dieser Klasse von Aufgaben
auf die Entwicklung der einfachsten Sätze beschränken. -
Nach dieser allgemeinen Übersicht wenden wir uns jetzt zur
näheren Betrachtung der einfachsten Klasse von Variationsproblemen,
wobei es sich zunächst um eine genaue Formulierung der Aufgabe
handeln wird.
~ 2. Definitionen und Sätze über ~gewöhnliche" Maxima und
Minima.
Bei der fundamentalen Rolle, welche die Begriffe des Maximums
und Minimums in der Variationsrechnung spielen, empfiehlt es sich,
die wichtigsten Definitionen und Sätze über ~gewöhnliche" Maxima
und Minima vorauszuschicken.
a) Maximum und Minimum einer linearen Punktmenge:
Unter einer endlichen Anzahl von Werten einer unabhängigen
Variabeln x gibt es stets mindestens ein Maximum, d. h. einen Wert,
der größer oder wenigstens nicht kleiner ist als alle übrigen; und
ebenso ein Minimum.
Ganz anders verhält es sich dagegen bei Mengen von unendlich
vielen Werten (sogenannten unendlichen Wertmengen oder linearen
Punktmengen). Hier kann es zunächst vorkommen, daß ein Maximum
deshalb nicht existiert, weil es unter den Werten der Menge solehe
gibt, die jede vorgegebene Zahl übersteigen. Dies ist z. B. der Fall
bei der aus der Gesamtheit aller positiven ganzen Zahlen gebildeten
Menge. Man sagt in diesem Fall, die Menge sei nach oben nicht
beschränkt. Aber auch wenn die Menge nach oben beschränkt ist
(borne superieurement')) d. h. wenn sämtliche Werte der Menge unterhalb einer festen Größe (,Schranke") L liegen, so braucht es deshalb
doch keinen größten Wert der Menge zu geben. So ist z. B. die
unendliche Menge
1 2 3 v 4
nach oben beschränkt, da sämtliche Werte der Mengen kleiner als
z. B. 2 sind; trotzdem gibt es unter den Werten dieser Menge
keinen größten.
1) Vgl. A I 2; die Abkürzung A bedeutet stets den Anhang am Ende des
Buches.