Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 1. Vorläufige Orientierung über die wichtigsten Probleme usw. 7
genügen, dasjenige zu bestimmen, für welches das Integral
X2
J=Z - (x, Yl, y2, ' Y; y l, y[,.. Y ** ) dx
seinen kleinsten oder größten Wert annimmt.
Dabei soll der Fall m = 0 mit inbegriffen sein und ebenso der
Fall,. in welchem einige der Funktionen (kp, oder alle, die Ableitungen
y,, y2,..., y' nicht enthalten.
Dieses Problem ist von ganz besonderer Wichtigkeit, einmal weil
es das allgemeinste Variationsproblem für einfache bestimmte Integrale
darstellt, insofern alle andern sich auf dieses reduzieren lassen, sodann
weil die allgemeinen Variationsprinzipien der Mechanik, wie das
Hamilton'sche Prinzip und das Prinzip der kleinsten Aktion auf
Probleme dieser Art führen. Diese Klasse von Aufgaben werden wir
im XI. und XII. Kapitel behandeln.
Endlich kann man auch mehrfache Integrale in den Kreis der
Betrachtung ziehen. Ein klassisches Beispiel dieser Art ist das Problem der Minimalflächen:
Beispiel V: Unter allen Flächen, welche von einer gegebenen geschlossenen Raumkurve 2 begrenzt werden, diejenige zu bestimmen, welche
den kleinsten Flächeninhalt besitzt.
Beschränken wir uns der Einfachheit halber auf Flächen, welche,
bezogen auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem, in der Form
z = f(x, y)
darstellbar sind, und bezeichnen wir mit of den Bereich der x, y-Ebene,
welcher von der Projektion 2' der Kurve 2 begrenzt wird, so lautet
die Aufgabe in analytischer Formulierung: Unter allen Funktionen
von zwei unabhängigen Variabeln
z - f(x, y),
welche entlang der Kurve 2' vorgeschriebene, sich stetig aneinanderreihende Werte annehmen, diejenige zu bestimmen, für welche das
Doppelintegral
J Ä= f +( ) + ) (aydx dy
den kleinsten Wert annimmt.
Da beim Übergang zu mehrfachen Integralen die Schwierigkeiten
ganz erheblich zunehmen, und da die Theorie hier noch nicht zu einem