Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

190 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
einfach den Punkt t nennen. Durch die Gleichungen (1) wird daher
nicht nur eine gewisse Punktmenge in der x, y-Ebene definiert, sondern
zugleich eine bestimmte Ordnung dieser Punkte festgelegt: ist t' < t",
so geht der Punkt P(t') dem Punkt P"(t") voran, in Zeichen P' - P".
Während t von t, bis t1 wächst, beschreibt1) der Punkt (x, y) die
Kurve in einem bestimmten Sinn, von ihrem Anfangspunkt zu ihrem
Endpunkt; ersteren bezeichnen wir mit Pt, letzteren mit P2, wofür
wir häufig auch bloß 1 und 2 schreiben werden. Wenn wir von
einer zwei Punkte A und B verbindenden Kurve reden, so soll
damit stets eine von dem zuerst genannten Punkt (A) nach dem zuletzt genannten Punkt (B) gezogene Kurve gemeint sein.
Machen wir die "Patrametertransformation"
t-X=(t) (2)
wo XZ() eine stetige Funktion von v ist, welche beständig wächst
von t1 bis t2, während r von r, bis t, zunimmt, so verwandeln sich
die Gleichungen (1) in
X= x- (X ) = X(T), y = -y(z()) = Y(t), < 2 *. (l a)
Umgekehrt gehen die Gleichungen (la) wieder in die Gleichungen (1)
über durch die zu (2) inverse2) Transformation
T ==0 (t). (2 a)
Die Gleichungen (l a) stellen wieder eine Kurve, (~', dar. Die beiden
Kurven (E und (' bestehen nicht nur aus denselben Punkten, sondern
diese Punkte sind auch in beiden in derselben Weise geordnet. Aus
diesem Grunde kommen wir überein, die beiden durch (1) und (l a)
definierten Kurven als identisch zu betrachten, und umgekehrt sollen
zwei stetige Kurven auch nur dann als identisch betrachtet werden,
wenn sie durch eine Parametertransformation von der angegebenen
Eigenschaft in einander transformiert werden können.
In dem speziellen Fall, wenn die Funktion x(t) beständig wächst,
während t von t, bis t, zunimmt, läßt sich die Gleichung x = x(t)
eindeutig nach t auflösen2) und die inverse Funktion
t- (x)
1) Wesentlich verschieden von dieser Auffassung der Kurve als Bahn eines
sich bewegenden Punktes ("Bahnkurve, path-curve" E. H. MOORE) ist die Auffassung der Kurve als eines geometrischen Ortes (",Ortskurve, locus-curve"), bei
welcher die Kurve durch eine Gleichung zwischen den Koordinaten x, y definiert
wird, und wobei von der Ordnung der Punkte abgesehen wird.
2) Vgl. A III 5.