Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 24. Abhängigkeit der Lösung von den Anfangswerten. 177
Wir knüpfen hieran noch die folgende Bemerkung: Die
Gleichungen (28) stellen, wenn man den Größen (r,.,.., Jn) alle
möglichen Wertsysteme im Innern von (C gibt, alle im Innern von
EC gelegenen Lösungen des Systems (20) dar, aber jede Lösung unendlich oft. Denn ist A irgend ein Punkt der Kurve CA, so ist die
Kurve k] nach ~ 23, c) und d) mit r( identisch. Um alle verschiedenen Lösungen zu erhalten, ist es daher nicht nötig, den Größen
(T,,....,) alle angegebenen Wertsysteme beizulegen; es genügt
vielmehr, wenn man dem v einen festen numerischen Wertl) beilegt,
und bloß die Größen r, 2,..., e variieren läßt. Ist nämlich
Ao(,~, o~,..., 0) ein Punkt im Innern von EL und A, (r1, /,...., n1)
irgend ein Punkt in hinreichender Nähe von Ao, so kann man stets
die Größen el, 2,..., n so bestimmen, daß die Lösung
Xk = S9V(t; r n * * nSin) = 1, 2,..., n,
in welcher r den Wert r0 hat, durch den Punkt A, geht.
Man hat dazu das System von n Gleichungen
(k k(T; a ' 4 k2 * * ' 'n) == 2
nach,..., ~, zu lösen. Das ist aber nach dem Satz über implizite
Funktionen (~ 22, e)) stets möglich; denn für
irgend n Lösungen, so hat die Determinante
A-= \x j, j, k = 1,..., n
nach JAcoBI (Werke, Bd. IV, p. 403) den Wert
f (11+ - q+ 9nn) t
A -- Cet (34)
wo C eine Konstante ist. Da die Funktionen qki stetig sind in [tot], so folgt
hieraus: Es ist entweder A - 0 im ganzen Intervall [to t], wenn nämlich C= 0,
oder aber A = 0 im ganzen Intervall [to t], wenn nämlich C 0. Im ersten
Fall sind die Lösungen linear abhängig, im zweiten Fall unabhängig.
Wendet man diesen Satz auf das System (30) an, und beachtet, daß
wegen (31)
für jedes (r, 1..,,) im Innern von (C, so folgt der Satz Nr. 5 unmittelbar.
1) Ob ein fester Wert von r genügt, um alle partikulären Lösungen zu
erhalten, hängt freilich von der Gestalt des Bereiches (C ab. Im allgemeinen
wird es nötig sein, den Bereich 6( in verschiedene Teilbereiche zu zerlegen,
und für jeden derselben dem v einen bestimmten konstanten Wert zu geben.
B o 1 z a, Variationsrechnung. 12