Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 1. Vorläufige Orientierung über die wichtigsten Probleme usw. 5
Weit Iwichtiger ist eine zweite Verallgemeinerung, bei welcher
mehrere unbekannte Funktionen unter dem bestimmten Integral vorkommen.
Besonders interessant werden die Aufgaben dieser Art, wenn
zwischen den unbekannten Funktionen Relationen vorgeschrieben sind.
Hierher gehört das folgende
Beispiel III: Die kürzeste Linie zu bestimmen, welche auf einer
in der Form
cp(x, y, ) ==
gegebenen Fläche zwischen zwei auf der Fläche gegebenen Punkten gezogen werden kann.
Nimmt man die zulässigen Kurven in der Form
y=y(x), Z= sx)
darstellbar an, so hat man unter allen der Bedingung
p(x, y(x), z(x)) = 0
genügenden Kurven, welche durch die beiden gegebenen Punkte gehen,
diejenige zu bestimmen, für welche das Integral
X2
J = jvl+ y2 + z' 2dx
den kleinsten Wert annimmt.
Hier haben wir also zwei unbekannte Funktionen von x zu bestimmen, welche durch eine endliche Gleichung verbunden sind.
Die vorgeschriebenen Relationen zwischen den unbekannten
Funktionen können aber auch die Form von Differentialgleichungen
haben, wie das folgende, schon von EULER ) und LAGRANGE2) behandelte Beispiel zeigt.
Beispiel IV: Die Brachistochrone im widerstehenden M]edium.
Unter allen Raumkurven, welche zwischen zwei gegebenen Punkten P,
und P, gezogen werden können, soll diejenige bestimmt werden, entlang welcher ein schwerer materieller Punkt in der kürzesten Zeit
von P, nach P2 gelangt, wenn er den Punkt P, mit einer gegebenen
Anfangsgeschwindigkeit v, verläßt. Die Reibung soll vernachlässigt
1) Vgl. Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes (Lausanne, 1744), pp. 126, 214.
2) Vgl. (Euvres, Bd. 10, p. 440; vgl. ferner LINDELOEF-MOIGNO, Calcul des
Variations (Paris, 1861), p. 308, und KNESER, Lehrbuch, p. 248.