Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 22. Ein Satz über eindeutige Abbildung und seine Anwendungen. 163
wenn QS den gemeinsamen Bildpunkt von P,^ und P,.' bezeichnet.
Wir können daher nach (9) den Index t so groß wählen, daß P,' und P<'
in die Umgebung (a) des Punktes LH, und gleichzeitig Q~ in die
Umgebung (E) des Punktes Kfällt, was einen Widerspruch mit dem
Vorangegangenen involviert, da für (y)= Q, die Gleichungen (5) die
beiden verschiedenen Lösungen (x) = P,< und P,' besitzen.
Daher muß die Annahme, von der wir ausgegangen sind, falsch
sein; es muß also mindestens einen Wert v = in geben, derart daß
zwei verschiedenen Punkten der Umgebung (Qm)e durch die Transformation (5) allemal zwei verschiedene Punkte des (y)-Raumes zugeordnet werden. Sobald wir also < M~ wählen, ist die durch (5)
definierte Beziehung zwischen (oQ) und OSb eine ein-eindeutige, Q. E. D.
c) Eigenschaften des Bereiches Do und der inversen Funktionen:
Wird p der zuletzt angegebenen Bedingung gemäß gewählt, so
haben die Gleichungen (5) für jedes der Menge ~e angehörige Wertsystem y1..., y, eine und nur eine Lösung x,.., xn in der Umgebung (Qe). Diese Werte der x sind daher in oY eindeutig definierte Funktionen von y,..., yn die wir mit
= y. (Y, yn) (10)
bezeichnen. Es soll gezeigt werden
Zusatz 1: Unter den Voraussetzungen A) bis D) läßt sich Q so
klein wählen, daß jeder Punkt der flenge Jc ein innerer Punkt von oe
ist, und daß überdies die inversen Funktionen ei(Y.., y, ) in I e von
der Klasse C' sind.
Zum Beweis wählen wir Q(<. m) so klein, daß
A(x,... + o in (,o)e, (1)
was nach ~ 21, b) auf Grund unserer Voraussetzungen A), B), D)
möglich ist. Alsdann sei (x') irgend ein Punkt von (Q)), und (y')
sein Bild im (y)-Raum. Nach einer früheren Bemerkung ist der
Punkt (x') zugleich ein innerer Punkt von (Q)e; wir können also
eine positive Größe d so klein wählen, daß die ganze Umgebung (d)
von (x') auch noch in (),e liegt. In dieser Umgebung (d) sind dann
die Funktionen fi von der Klasse C'; ferner ist
A(x1,..., ) +0
Wir können also nach dem gewöhnlichen Inversionssatz (~ 22, a))
zwei positive Größen d < d und E angeben, derart daß für jeden
ll"