Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

158 Viertes Kapitel. Hilfssätze über reelle Funktionen reeller Variabeln.
Zusatz: Das obige Lemma bleibt richtig, wenn darin das Wort
"positiv" beidemale durch "von Null verschieden" ersetzt wird.
Denn wird nur vorausgesetzt, daß
f(x1,..., xn)+0 in @
so bezeichne @' (resp. 0") die Gesamtheit derjenigen Punkte von C,
in welchen f positiv (resp. negativ) ist. Alsdann ist jede der beiden
Mengen @', 0" beschränkt und abgeschlossen. Ersteres ist unmittelbar
klar; um letzteres zu zeigen, sei H(h,..., hn) ein Häufungspunkt
von 0'; dann kann man aus 0' ein unendliche Folge1) von Punkten
P(x..., x, v) herausgreifen, so daß
L = H.
Aus der Stetigkeit von f folgt dann, daß
/f(1,..., hi,) =Lf(xr,..., xn) O.
V = 00
Nun ist aber der Punkt H als Häufungspunkt von 0' a fortiori zugleich Häufungspunkt von (, und da 0 abgeschlossen ist, so ist H
in ( enthalten; es ist also nach Voraussetzung
f(h,...,2 h7) + 0;
daher bleibt nur die Möglichkeit, daß f(h..., h,) positiv. Der
Punkt H gehört also zu 0', und~ daher ist @' abgeschlossen; das
gleiche gilt von (".
Wir können also nach Lemma II zwei positive Größen Q', Q"
angeben, so daß
f(x1,..., x) > 0 in (Q)'
f(x,., - x) < O in (Q~)e.
Bezeichnet daher Q die kleinere der beiden Größen g', Q", so folgt
leicht, daß
f(x,.., x.) + 0 in (.)e~ 22. Ein Satz über eindeutige Abbildung und seine Anwendungen.
Es handelt sich um die Auflösung der n Gleichungen
yi - (x,.., x n), i= 1, 2,...,, (5)
nach x1..., x,. Wir formulieren zunächst den Satz, wie er in den
1) Vgl. A I 4.