Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 21. Über die Umgebung einer Punktmenge. 155
Man zeigt leicht, daß jeder Punkt von (Q)ac zugleich ein innererl)
Punkt von (Q)a ist; ferner, daß (6)g stets in (9)g enthalten ist2),
wenn 6 < 9.
Dagegen werden wir sagen der Punkt P(x',..., x') liege in
der "geschlossenen Umgebung [9] der Menge &"L, in Zeichen: in [9]g,
wenn es mindestens einen Punkt A(a,..., an) von R( gibt, für
welchen
|x, - al | <,* *1 < x - an|-< (la)
Ist (E beschränkt und abgeschlossen3), so ist auch die Menge [9]g
beschränkt und abgeschlossen.
Unter Benutzung dieser Terminologie beweisen wir nun zunächst
folgende Hilfssätze:
a) Lemma I:
Ist J5 eine beschränkte, abgeschlossene Punktmenge, welche ganz
im Innern einer anderen Menge &C liegt, so läßt sich 9 so klein
wählen, daß die Umgebung (Q)\ ganz in C enthalten ist.
Wir wenden zum Beweis eine in der Theorie der Punktmengen
häufig benutzte Schlußweise4) an, von der wir noch wiederholt Gebrauch zu machen haben werden:
Angenommen, wie klein wir auch 9 wählen mögen, so gäbe es
immer noch mindestens einen Punkt von (9)9, welcher nicht zu C
gehört. Dann wählen wir eine abnehmende Folge von positiven
Größen mit der Grenze Null:
9l > s2 > * * > Q > > 0
L- =. (2)
V = 00
In (9,,), gibt es nach Annahme mindestens einen Punkt
-P (x,..., x,), welcher nicht zu (C gehört; nach der Definition von
(9)! läßt sich dem Punkt PP mindestens ein Punkt B,~(b,..., b6)
von I zuordnen, so daß
x - b < 2,..., n. (3)
1) Vgl. A I 7.
2) Auch die Umkehrung dazu gilt, vorausgesetzt daß es Punkte des
(x)-Raumes gibt, welche außerhalb 6C liegen, und daß Q hinreichend klein
gewählt ist.
8) Vgl. A I 2 und 6.
4) Vgl. z. B. JORDAN, Cours d'Analyse, I, Nr. 30.