Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Viertes Kapitel.)
Hilfssätze über reelle Funktionen reeller Variabeln.
Teils als Nachtrag zu den bisherigen Kapiteln, hauptsächlich
aber als Vorbereitung für die schwierigeren Untersuchungen der
folgenden, stellen wir im gegenwärtigen Kapitel eine Reihe von Sätzen
über reelle Funktionen reeller Variabeln zusammen, die für eine arithmethisch strenge Begründung der Variationsrechnung nicht zu entbehren sind. Es handelt sich dabei im wesentlichen um gewisse
Existenztheoreme über implizite Funktionen und über Systeme von
Differentialgleichungen, die gewöhnlich nur für die Umgebung eines
Punktes bewiesen werden, während man sie in der Variationsrechnung
für die Umgebung einer ganzen Kurve nötig hat.
~ 21. Über die Umgebung einer Punktmenge.
Wir werden sagen, ein Punkt P(x,..., x') liege in der Umgebung (Q) einer im x..., x,-Raum definierten Punktmenge (c,
wenn er in der Umgebung (Q) wenigstens eines Punktes von L
liegt, d. h. also, wenn es mindestens einen Punkt A(a,..., a,) von
EC gibt, derart, daß
l x'- ai < Q..., x' -- a <. (1)
Die Gesamtheit derjenigen Punkte, welche in der Umgebung (Q)
der Menge C( liegen, bezeichnen wir mit (Q)g und nennen sie "die
Umgebung (9) der Menge CEL".
1) Wir empfehlen dem Leser dieses Kapitel zunächst zu überschlagen und
erst sp:iter nach Bedarf darauf zurückzugreifen.