Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

150 Übungsaufgaben zu den drei ersten Kapiteln.
wie sie schon in ~ I erwähnt worden sind. In unserem Fall ergibt sich aber
aus der speziellen Form des Integranden, daß sich die Aufgabe auf den einfachsten Fall ohne Nebenbedingungen reduzieren läßt. Wir können nämlich
x' mittels (76) eliminieren und erhalten dann folgende, mit der vorigen äquivalente Aufgabe: Unter allen Funktionen der Klasse C'
y-=y(s), 0< s<l,
welche den Anfangsbedingungen
y(0O)==, y(l)=
der Gebietseinschränkung
y(s) > für O< s<
und der Gefällbeschränkung 1)
dy
ds <
genügen, diejenige zu bestimmen, welche das Integral
J'-= -y 1 -) ds
0
zu einem Maximum macht. Dies ist ein Problem vom einfachsten Typus ohne
Nebenbedingungen. 2)
Nachdem man das Problem in der s, y-Ebene gelöst hat, berechnet man
die Funktion x(s) mittels (76) und kehrt so schließlich zur x, y-Ebene zurück.
Als Lösung erhält man einen Halbkreis in der x, y-Ebene.
Die folgenden Aufgaben sind mit derselben Methode zu lösen. Bei der
Anwendung derselben hat man jedoch die größte Vorsicht zu beobachten, weil
beim Übergang von der ursprünglichen x, y-Ebene in die neue Ebene häufig
die eigentümlichsten Beschränkungen der zulässigen Kurven eingeführt werden.
36*. Unter allen Kurven, die in der oberen Halbebene (y>0) von einem
gegebenen Punkt P1 nach einem nicht vorgeschriebenen Punkt P, der Geraden
y = y2 gezogen werden können, und welche zusammen mit den Ordinaten der
Punkte P, P, und dem dazwischenliegenden Segment M1 MX der x-Achse einen
gegebenen Flächeninhalt A einschließen, diejenige zu bestimmen, welche die
kleinste Länge hat. (EULER.)
1) Vgl. wegen derselben p. 34.
2) Es ist hier ganz wesentlich, daß die Abszisse x2 nicht gegeben ist.
Denn wäre x" gegeben, so wäre nunmehr noch die Bedingung hinzuzufügen,
J/yrti y'2 ds=x2,
o
und man hatte wieder ein isoperimetrisches Problem.