Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

124 Drittes Kapitel. Hinreichende Bedingungen b. d. einfachsten Klasse v. Aufgaben.
einem regulären Problem braucht man sich daher nur zu überzeugen,
daß der Extremalenbogen P1P, den zu P, konjugierten Punkt nicht
enthält, um sicher zu sein, daß ein starkes Extremum stattfindet.
Beispiel XIII ):
f- G(x, y) 1/ + y1,
wo G(x, y) eine Funktion von x und y ist, welche in einem gewissen Bereich
t von der Klasse C" ist.
Hier ist
G(x, y)
Daher liefert jede Extremale (o, welche ganz im Innern von 0 liegt, und welche
den zu P1 konjugierten Punkt nicht enthält, ein starkes Minimum, vorausgesetzt
daß G(x,y)>O entlang eo. Denn da G(x,y) in einer gewissen Umgebung
von (, stetig ist und positiv entlang s,, so ist G(x, y) nach ~ 21, b) auch noch
positiv in einer gewissen Nachbarschaft (e) von (o, und daher ist (II'b) erfüllt.
Für G(x, y) ==y folgt hieraus für Beispiel I (siehe pp. 1, 33, 72, 79),
daß der Bogen P, P_ der Kettenlinie
y = o Ch -
ein starkes Minimum für das Integral
J=Jy -T + t d
liefert, falls er den zu P, konjugierten Punkt Pl' nicht enthält.2)
Aus dem Beweis des letzten Satzes geht hervor, daß man dem
Satz auch folgende, nach ~ 16, d) damit äquivalente Form geben kann:
Wenn der Extremalenbogen eo mit einem Feld umgeben werden
kann, und wenn iberdies die Bedingung (IIb') erfüillt ist, so liefert @o
ein starkes Mlinimum.
Häufig ist die Existenz eines speziellen Feldes um den Bogen (So
geometrisch evident, während die Bestimmung des konjugierten
Punktes umständlicher ist. In solchen Fällen ist die zweite Form
des Satzes vorzuziehen.
Beispiel VII (Siehe pp. 33, 99): Das Integral
2J= - dx
y
__ ________ Xl
1) Wegen mechanischer und optischer Deutungen dieses Problems vgl. die
Übuzngsaufgaben Nr. 9 und 17 zu Kap. V.
2) Hierzu die Übungsatfgaben Nr. 2-12, 33-38 am Ende von Kap. III.