Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

114 Drittes Kapitel. Hinreichende Bedingungen b. d. einfachsten Klasse v. Aufgaben.
und P2; ihre Gleichung sei: y == mnx n- n.
Dann ist
R(x)-= 2(6m2 q+ 6 -+ 1)
A (x, x1) -- x - x1.
Sind jetzt im und in2 die beiden Wurzeln der Gleichung
6m2 + 6m + 1 = 0,
nämlich
mx =-~ — f1- 0.2113...
m2 ---- - - -— 0.7887...,
so ist
> 0, wenn m>m1 oder m~ < m,
<0, wenn m <m <m1.
Im ersten Fall sind die drei ersten notwendigen Bedingungen für ein Minimum,
im zweiten Fall für ein Maximum erfüllt.
Endlich ist
8(x, {(x); x' (X), )- (p - lm )2 [( + q-m + l)2 + 2m(mi + l)].
Nun ist die quadratische Funktion von p in der eckigen Klammer beständig
positiv, wenn m,(m + 1) > 0; sie kann ihr Zeichen wechseln, wenn m (m -+ 1) < 0;
und sie reduziert sich auf ein vollständiges Quadrat, wenn m(m + 1) == 0.
Wir erhalten also das Resultat:
Wenn mn 0 oder m < - 1, so ist die Bedingung (IV) erfüllt; wenn - 1 < m < 0,
so ist die Bedingung (IV) nicht erfüllt, und die Gerade P1 P2 liefert sicher weder
ein starkes Maximum noch ein starkes Minimum.
Das letztere Pesultat läßt sich auch auf ganz elementarem Wege folgendermaßen beweisen: Wenn - <m < 0, so ist einerseits sicher der Wert von
J( s> 0; andererseits können wir aber
(und zwar auf unendlich viele Weisen)
3
1._3 -, _ _ ],!(x)+,- P1 und P2 durch eine gebrochene Linie
- - 5 verbinden, die aus geradlinigen Stücken
Y 47(X) besteht, welche abwechselnd das Gefälle 0
und 1- 1 besitzen (z. B. P P, P4PPP),
Y(x)-p und diese gebrochene Linie ist in der
Form y = f(x) darstellbar1) (was nicht
"';L --- —----— x ---- x, möglich wäre, wenn n > 0 oder nz <-1).
Fig. 20. Für eine solche gebrochene Linie ist
aber offenbar J = — 0. Schließlich hat
man noch von dem Lemma über diskontinuierliche Variationen Gebrauch zu
machen (~ 14, c)).
1) Vgl. dazu ~ 25, e).