Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 18. Ableitung weiterer notwendig. Bedingungen a. d.Weierstraß'schen Satz. 111 x2 A J=fS(x, y; p, )dx (25) x, ausdricken; dabei ist (x, y) ein Punkt von (L, p das Gefälle von ( im Punkt (x, y) und p = p(x, y) das Gefälle der durch den Punkt (x, y) gehenden Extremale des Feldes im Punkt (x, y). Der Weierstraß'sche Satz behält seine Gültigkeit auch noch für das "uneigentliche" Feld ky von Extremalen durch den Punkt P11) (obgleich alsdann die Funktion p(x, y) im Punkt P1 unbestimmt wird), sowie für Kurven ( der Klasse2) D'. ~ 18. Ableitung weiterer notwendiger Bedingungen aus dem Weierstraß'schen Satz. Wir benutzen den Weierstraß'schen Satz zunächst zur Ableitung weiterer n o t w e n di g er Bedingungen. 1) Denn schreibt man das Hilbert'sche Integral J =fMdx + Ndy, so haben nach p. 104, Fußnote 1), Ende, die Funktionen MI und 1 N in ok endliche obere Grenzen G und H. Führt man daher den Bogen als unabhängige Variable ein und bezeichnet mit 1 die Länge des Bogens (, so folgt hieraus, zunächst für eine Kurve (, welche nicht vom Punkte P1 ausgeht: IJ1 (i(G+H)l. (26) Hieraus folgt nach den üblichen Festsetzungen über uneigentliche bestimmte Integrale, daß das Integral Je auch noch für solche Kurven ( einen bestimmten endlichen Wert behält, welche vom Punkt P1 ausgehen, und daß auch für solche Kurven die Ungleichung (26) bestehen bleibt. Wir ziehen jetzt vom Punkt P1 nach irgend einem Punkt P von SYk zwei Kurven Ö, ~' der Klasse C'. Um zu zeigen, daß J*,= J*, ziehen wir eine Gerade: x== -x +, wo s eine kleine positive Größe ist; ihre Schnittpunkte mit E und (' seien Q und Q' resp. Dann können wir schreiben J - - [J*(QQ') - J*(QP)] + [J*(P Q') J*(P Q) - J*(QQ')] Die erste Klammer auf der rechten Seite ist Null, da hier der Hilbert'sche Unabhängigkeitssatz gilt; die zweite wird nach (26) mit ~ unendlich klein, also ist J = J(. Hieraus folgt dann wie oben der Weierstraß'sche Satz. 2) Vgl. ~ 10, c) und ~ 6, p. 36, Fußnote 8).

/ 736
Pages

Actions

file_download Download Options Download this page PDF - Pages 108-127 Image - Page 108 Plain Text - Page 108

About this Item

Title
Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.
Author
Bolza, O. (Oskar), 1857-1942.
Canvas
Page 108
Publication
Leipzig,: B. G. Teubner.
1909.
Subject terms
Calculus of variations

Technical Details

Link to this Item
https://name.umdl.umich.edu/acm2517.0001.001
Link to this scan
https://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/acm2517.0001.001/124

Rights and Permissions

The University of Michigan Library provides access to these materials for educational and research purposes. These materials are in the public domain in the United States. If you have questions about the collection, please contact Historical Mathematics Digital Collection Help at [email protected]. If you have concerns about the inclusion of an item in this collection, please contact Library Information Technology at [email protected].

DPLA Rights Statement: No Copyright - United States

Manifest
https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/api/manifest/umhistmath:acm2517.0001.001

Cite this Item

Full citation
"Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text." In the digital collection University of Michigan Historical Math Collection. https://name.umdl.umich.edu/acm2517.0001.001. University of Michigan Library Digital Collections. Accessed May 29, 2025.
Do you have questions about this content? Need to report a problem? Please contact us.