Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 18. Ableitung weiterer notwendig. Bedingungen a. d.Weierstraß'schen Satz. 111
x2
A J=fS(x, y; p, )dx (25)
x,
ausdricken; dabei ist (x, y) ein Punkt von (L, p das Gefälle von ( im
Punkt (x, y) und p = p(x, y) das Gefälle der durch den Punkt (x, y)
gehenden Extremale des Feldes im Punkt (x, y).
Der Weierstraß'sche Satz behält seine Gültigkeit auch noch für
das "uneigentliche" Feld ky von Extremalen durch den Punkt P11)
(obgleich alsdann die Funktion p(x, y) im Punkt P1 unbestimmt
wird), sowie für Kurven ( der Klasse2) D'.
~ 18. Ableitung weiterer notwendiger Bedingungen aus dem
Weierstraß'schen Satz.
Wir benutzen den Weierstraß'schen Satz zunächst zur Ableitung weiterer n o t w e n di g er Bedingungen.
1) Denn schreibt man das Hilbert'sche Integral
J =fMdx + Ndy,
so haben nach p. 104, Fußnote 1), Ende, die Funktionen MI und 1 N in ok endliche
obere Grenzen G und H. Führt man daher den Bogen als unabhängige Variable
ein und bezeichnet mit 1 die Länge des Bogens (, so folgt hieraus, zunächst für
eine Kurve (, welche nicht vom Punkte P1 ausgeht:
IJ1 (i(G+H)l. (26)
Hieraus folgt nach den üblichen Festsetzungen über uneigentliche bestimmte
Integrale, daß das Integral Je auch noch für solche Kurven ( einen bestimmten
endlichen Wert behält, welche vom Punkt P1 ausgehen, und daß auch für solche
Kurven die Ungleichung (26) bestehen bleibt. Wir ziehen jetzt vom Punkt P1
nach irgend einem Punkt P von SYk zwei Kurven Ö, ~' der Klasse C'. Um zu
zeigen, daß J*,= J*, ziehen wir eine Gerade: x== -x +, wo s eine kleine
positive Größe ist; ihre Schnittpunkte mit E und (' seien Q und Q' resp. Dann
können wir schreiben
J - - [J*(QQ') - J*(QP)] + [J*(P Q') J*(P Q) - J*(QQ')]
Die erste Klammer auf der rechten Seite ist Null, da hier der Hilbert'sche
Unabhängigkeitssatz gilt; die zweite wird nach (26) mit ~ unendlich klein, also ist
J = J(.
Hieraus folgt dann wie oben der Weierstraß'sche Satz.
2) Vgl. ~ 10, c) und ~ 6, p. 36, Fußnote 8).