Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 16. Konstruktion eines Feldes von Extremalen. 95
Extremum nicht hinreichend sind. Dazu genügt es, ein einziges Beispiel beizubringen, in welchem die Bedingungen (I), (II'), (III') erfüllt
sind, und in welchem trotzdem kein Minimum stattfindet. Ein einfaches Beispiel') dieser Art ist das folgende:
Beispiel IX: Das Integral
x2
J-fJ(y/2 + y'3)dx
xi
zu einem Minimum zu machen unter der Annahme, daß die Koordinaten der Endpunkte sind: (x, y) == (0, 0), (, y2)= (1, 0).
Die Extremalen sind hier gerade Linien, und ~0 ist das Seg- X +
ment [01] der x-Achse. Ferner ist --:q -
1-p
B=2
A(x, x,)- (X- X1); -
Fig. 16.
somit sind die Bedingungen (I),
(II'), (III') für ein Minimum erfüllt.
Trotzdem kann AJ negativ gemacht werden. Denn wählen wir für d
die gebrochene Linie PPP2 und bezeichnen die Koordinaten von P
mit (1 -p, q), wo 0 < p < 1 und q > 0, so erhalten wir für AJ
den Ausdruck
AJ= - (l1)
p(1 -p) 1 -p p)
Ist nun irgend eine Nachbarschaft (Q) von ~ o gegeben, so wähle
man q < 9; dann kann man p stets so klein nehmen, daß AJ< 0.
Schließlich kann man nach dem Lemma über Abrundung der
Ecken, ~ 14, c), die gebrochene Linie PPP, durch eine Kurve der
Klasse C' ersetzen, welche ebenfalls A J <0 macht, womit unsere
Behauptung bewiesen ist.
~ 16. Konstruktion eines Feldes von Extremalen.
Nachdem im vorigen Paragraphen gezeigt worden ist, daß die
bisher als notwendig erkannten Bedingungen nicht hinreichend sind,
1) Das erste Beispiel dieser Art war das Problem des Rotationskörpers von
geringstem Widerstand, mit dem wir uns später noch ausführlich beschäftigen
werden (~ 49). Schon LEGENDRE fand, daß der Widerstand durch eine passend
gewählte Zickzacklinie beliebig klein gemacht werden kann; vgl. LEGENDRE, loc.
cit., p. 73 in STÄCKEL'S Ubersetzung, und PASCAL, loc. cit., p. 113.