Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 15. Hinreichende Bedingungen für ein ~schwaches Extremum". 89
a) Analyse des Fehlschlusses:
Wir haben gesehen, daß aus den beiden Annahmen (II') und (III')
in aller Strenge folgt, daß 62J> 0 für alle zulässigen Funktionen ~,
welche nicht identisch verschwinden. Daraus folgt aber in der Bezeichnung von ~ 4: Hat man eine zulässige Funktion ~r(x) fest gewählt, so besitzt das Integral
X,
J(8) = (fx, y+ sy, I + &') dx
X,
als Funktion von s ein Minimum für ==0, da J'(0) 0, J'(0) >0.
Das heißt: Es läßt sich eine positive Größe J angeben, derart daß
AJ> 0 für alle Kurven der Schar
y-=Y(x)- EI(x), (1)
für welche 0 < | 1, < 6, oder wie wir sagen können: In Beziehung
auf die spezielle Schar (1) von Kurven liefert e0 wirklich ein
Minimum.
Ist andererseits eine beliebige zulässige Kurve:. y = =y(x), x1 < x < x2
gegeben, so läßt sich dieselbe stets als Individuum einer Schar dieser
Art betrachten; man braucht nur für r (x) die Funktion V(x) = y(x) -
- y'(x) zu wählen, so liefert die Schar (1) für s = 1 die gegebene
Kurve.
Hiernach scheint in der Tat aus den angegebenen Bedingungen
die Existenz eines Minimums zu folgen. Dabei ist aber ein wesentlicher Punkt außer Acht gelassen. Die Funktion J(E), und daher
ebenso die Größe 6, hängt von der Wahl der Funktion r/
ab; dies wollen wir auch in der Bezeichnungl) zum Ausdruck bringen,
indem wir statt ö schreiben ö6,. Um unsere Definition des Minimums
(~ 3, b)) zur Vergleichung heranziehen zu können, führen wir das
Maximum m, der Funktion |,(x) im Intervall [xl x2] ein und setzen:
) =- m 6,; dann folgt für das Inkreinent Aty = y(x) - - (x)'
Ay <, in [xxx] (2)
für alle Kurven der Schar (1), für welche i E < 6, d. h. diese Kurven
N) Nach E. H. MOORE, vgl. z. B. Transactions of the American Mathematical Society, Bd. I (1900), p. 500. Diese Bezeichnungsweise empfiehlt
sich sehr bei allen schwierigeren Grenzbetrachtungen.