Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEVE.

lineairement en fonction des coefficients de oc, P, y, comme le montrent aussitot les identites
co 'co (z-)+...
A(zo) +' A'(o)(Z - o) +.. = 5)).
Po+ + t...
1.2
et
C(o)+ C'(0)( -0) +...=Y+ o(~ —o)+-.
+ ~o- 0 +...
1.2
De plus, les coefficients de u, s'expriment lineairement en fonction de A,,
Ao, Ao,..., Co, Co... quancl lapr7emiere condition est satisfaite
1,o0 - -
A' C0
C0 Ao _ (, 4yo),n -i (in - r)3 O
et ainsi de suite. La seconde condition s'ecrit donc H(zo) o, H etant un
polynome dont les coefficients se calculent lineairement a l'aide des coefficients de a, P et y. I1 faut que H(z) soit divisible par P,(z), ce qui se verifie
encore par des operations puremen t algehriques.
Passons au cas ou le point zo est un pole d'ordre M7 de a(z). Nous avons
dit que Zo est alors z6ro au moins d'ordre (m - i) de u(z), et que par la
transformation Z-u = zm-' (nous faisons z = o), l'equation (7) devient,_ AV- (m -) + C(e)
z
A et C etant holomorphes pour z o, et A ne s'annulant pas avec z.
En raisonnant comme plus haut, on voit que v doit prendre pour z= o,i */ m? I +- +t /(7?z- i)2- Aac
une des valeurs 0o, vo de l'expression U - Ao; si
l'on pose v U + w, l'equation devient
W,' w [~ V(m - i)- 4AoCo + zz +-...] _,vw +/ z
La discussion precedente montre que /(mn - i)2 4Ao Co doit etre un entier positif n, et que de plus la derivee 1i6me de [AC2- C(z)] doit etre nulle
pour z o, c, designant le polynome o + +, z - -t- z- ou