Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULIERES DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

117

autres relatives respectivement a s,, 2,..., Sk, on voit que
n=O
(P (n —Ak y —Bk z —Ck)]
n =0)
(4) p(y |P,,
=/-+ P'~'"(xyz)+... +pk)(x^y^z)
n~n)
PI" est une combinaison lineaire des derivees d'ordre n et d'ordre inferieur
de - I, Ai, Bi, Ci designant les coordon'i WV(x -- Ai)2 + (y -- Bi)2 + (z - Ci)2
nees de Mi.
Les series (3) et (4) convergent absolument et uniformement dans tout
espace Z interieur a S. Les derivees de F s'obtiennent en derivant les
termes des series (3) et (4), cc qui conduit a des series de meme forme.
Dans le developpement (3) en particulier, si
n = oo
P,((x, y, z) --,y(') X xo ypzY,
n =
Op F(x, y, z) _ _, a,,
dx dy0zY — = a, y pour x — y - z o.
n=p
Les developpements (3) et (4) sont possibles d'une infinite de manieres.
On peut se donner arbitrairement les n premiers termes ou assujettir les
polynomes P, a ne pas contenir, au dela du pieme, de termes de degre infeI
rieur a p. On peut faire en sorte, par exemple, que les termes en -,
—,, figurent seulement dans le premier terme du developpement (4).
1'2 'k
Si S est l'espace exterieur a une surface, le residu de cette coupure est alors
egal a a, + a2 +... - a~, les lettres a,, a,,..., ak ddsignant les coefficients
respectifs de —, 1 * )2 -
' r r1k
Quand F(x,y, z) n'est pas continue sur s, la convergence des series (2),
(3) et (4) ne s'etablit que dans des cas particuliers.