Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEvr,,.

de A, A, soienL ordinaires et exte'rieures 'a 5, soil pour que les cerceles tangents 'a s en chaque point M et passant par un. certain point 7. (exte'rieur
ai 5) soient exte'rieurs 'a S. Si V'on. pent choisir les points A1, A2,., en
sorte qu'a' chacun d'eux corresponde un chemin A, nin1, A.2 in,,..., sur lequel
F (z) dz1 tende vers une limite, la fonction F~x) se de'veloppe dans S sons
la forme ()
Discussion du dei'veloppement (2). -La possibilite' du d6velo-ppement
(2) s'e'tablit commne celle du de'veloppement (3), avec queiques simplifications.
Soit s un. contour ferme' qnelconqne (sans angle rentrant) tel que, pour
d~z
chaque point de S, T, existe, et soil continu. Le contour pent offrir des
tangentes d'inflexion. On ktablit qn'il existe une fonction. P i~- iQ, holoinorphe dans S et continue snr s, telle qne le long de s
Px'-H- Qy'zr o.
On pent touij ours la multiplier par un nombre reel K assez petit en valeur absoluepourque les cercles ayantapour centre etpassantparz (z - a -P -i- IQ)
soient exte'rieurs a la courbe C passant par Z. (z e'tant voisin de s). On en
conclut que 1'inte'grale fZL- a)"4 ( d- est inde'pendante de C quand C
tend vers s; ce qui montre que le de'veloppement, trouve pour C, converge
dans S.
Si s pre'sente des points singuliers A1, A2,,..., le de'veloppement est encore
possible, ponrvu que la conpure s puisse se decomnposer en coupures partielles, A,1A2.I
Le cas o~i S est l'espace exte'rieur 'a une ligne non ferme'e se ramene aux
prcdents h l'aide de la transformation
2
Les de'veloppements dans une aire limite'e par des arcs de cercle s ou cxte'rieure 'a un contour rectiligne sont des cas particuliers des de'veloppements
(2), (3) et (4). Ils s'appliqnent 'a toute fonction. discontinue sur s, mais
remplissant aux points anguleux les conditions indique'es.
5. Calcud des coefficients dU d~heloppeinent (3). - Revenons an cas
d'une aire convexe regulie're S. Nous a-vons de'montre' qu'a' toute courbe s