Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PA1NLEVE.

compris entre a, et i, on ait
2 71 (a, ) - (1(i, 9) < n.
De mnme, il existe un nombre b, tel que, a etant compris entre b, et i,
on ait
k/(a, 9) —k'(I,?) <.
I1 en resulte qu'on peut trouver un nombre A assez voisin de i pour que,
a' ct a" etant compris entre A ct I, on ait
I.i(a', ) -j(a", )1 I < 4-^n.
Mais on voit, comme plus haut, que.(c,?) - j(a", 9) =g'()[J1(C, ) - J2 J(a,', y) - ( "J9 (a", ),
( 3' | et " 1 etant inferieurs ha ).
Ne faisons varier? qu'entre les limites cO et?, qui correspondent aux
extremites de l'arc a, M, b, (correlatif de aMb). Dans cet intervalle, Ig' (0)
est superieur a p.. L'egalite qui precede montre d'abord que J, (a,?) ne
crolt pas au dela de toute limite quand a tend vers i. Sinon, a' restant fixe,
a" tendant vers I, le second membre croltrait indefiniment. Soit done v une
limite superieure des valeurs de J, (a,?) quand a prend toutes les valeurs
de A a I (? variant entre 0o et c,)? J(a',?))- J(a",?) est inferieur a
'(4 - +2) quel que soit 9 entre (o0 et 4,. Comme. est independant de 8, ct
yj.
que tend vers o avec 8, et par suite avec v], on peut choisir ' assez petit
pour que -c ( 4- ) soit inferieur a c. Le raisonnement pouvant se repetcr
pour un arc aMb quelconque, ilexiste un nombre a., assez voisin de i pour
que, a' et a" etant compris entre et a,, on ait, quel que soil; entre o
et 27,
J, (, 9 ) —J (d, <9)|< -.
En consdquence, la fonction R, (a,?) tend vers une limite R, (, ) quand
a tend vers i, et cela uniformedment le long de c. D'apres le lemme I du
Chapitre II (de la premiere Partie), R, (i, p) est fonction continue de l; la
fonction R(x,y), et par suite P - iQ,prend donc sur s une suite continue
de valeurs ved'ifant la condition

Px'-+ Qty - o.