Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULIE~RES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 9

95,Uijxy) est la partie r~elle du produit (P +-[ iQ) (holomorphe dans S,
puisque P +~ iQ s'annule pour z o); c'cst donc une fonction qui satisfait
a? I'equation A~t o, r~gulie're dans S, et prenant sur s une suite continue
de valeurs dont le siguc est constant; autr ement, P + i Qy s'annulerai L
surs, et une tangente 'a la courbe s passerait par l'origine 0, cc qui est impossible. Comme la fonction?X est e'gale 'ah pour z - o, elle est toujours
positive. On voit ainsi que
mais
_ _ Q
arc tang arc tang P,
pa r suite
*2 Jd ~ d L_(_i__-d __d
jx- Dy- d z ~ P iiQ
et
- 2 1 (X2# —y2 )P~
d0 X Px-H-Qy
P' est une fonction qui satisfait "a le'quation AP' - oet prend sur s des -va-.
leurs -~~toutes positives. Comme elle est re'gulie're dans S, elie est con —
stamment positive dans cet espace; dOest donc touj ours plus grand que
sur une courbe C.
En dernier lieu, les cercles de'crits de a comme centres et passant par z,
comprennent-ils a' leur inte'rieur la courbe C qui passe par cc point z? Soit
C, une des courbes C; tra~ons un cerclc qui lui soit tangent et. donti le
centre soit du cote du centre dc courbure de C,. Cc cerele entoure C, si sonl
m2d2 -i- I
rayon 7r est sup~rieur aA la fois aA d ci 'a 2i de etanL la distance maxima
de deux tangentes paralle'ls de C., ci L2M le minimum sur la couirbe de FexIV I 1 i I1
pression -, C' est-a'-dire de la courbure de C (onu'ne quantit in(X'12.412)2
f~rieurc 'a cc minimum). D'autre part, d'apre's ce qui prece'de,
1x2~y12)2 p2Q 2