Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE I. - CHAP. VIII.

ou ~x est une inconnue auxiiiaire, et qui se de'duisent lFun de 'au ire
par le changement de y en -y. Conside'rons, par exemple, le
premier. En e'crivant que les seconds mernbres des e'quationS sont
des diff6rentielles exactes, nous obtenons les relations
Sifl% - cos%-T Cos5- = - sinl-~
d Ox dy Ox
qui donnent
ot est, done constante. En inte'grant, les formules (25) et de'signant
par xojyo deux nou~velles constantes, on aura
x x Cos a-y sinl%-+x0,
y'= zxsin a -y Cosa yo.
Ce sont les formules de la -transformation des coordonne'es. Par
suite, x, y et x', y' peuvent ktre conside'rees comme les coordonne'es d'un me'me point du plan, rapporte' "a des axes diff~rents;
et les deux represenlations de la surface de'veloppable ne doivent
pas tre regarde'es comme r'ellement distinctes.
72. Une autre question tre~s inte'ressante se pre'sente ici. Nons
venons de voir que l'enveloppe d'un plan mobile est applicable
sur le plan. La re'ipro~que est-elle vraie, et toute surface applicable
srle plan est-elle l'enveloppe d'un plan mobile? Cette proposition
a toujours e'te admise par Mong~e et les autres geome tres de son
epoque, comme le prouve le nom. Meme de surface d~celoppable
donne' des le de'but 'a l'enveloppe d'un plan mobile ('). Elle est i
corollaire imme'diat des propositions generales que nous aurons '
de'velopper dans la suite; mais n o-Ls pouvons, des 'a present, en
donner une demonstration directe et tre~s simple, due "a M. 0.
Bonnet (2).
Soient x,y, z les coordonne'es d'un point 'de la surface cherche'e,
applicable stir un plan, ci soieut a, ~3 celles du point correspondant

(1 ) Voir, en particulier, le Chapitre sur les surfaces d~veloppables dans, lApplication cdc lAnalyse d la G&Mdt7ie de MONGE.
( 2) Anna/i di AHatematica, 2e s6rie, t. VII, p. 6i.