Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

NOTIONS SU1R LES COORDONNEES CURVILIGNES. 8

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D'ailleurs, en multipliant membre "a membre les formules (21 ),
on obtient, pour 1e'le'ment linelaire de la surface de'veloppable,
1' expression dS2 r —d2 -v c72,
qui de'montre la proprie'Le annoncee.
Les formules (229) peuvent C'tre remplace'es par les suivantes
(3) ~~~~~x = it Cosv ~ f a sinv c/I,y
(23) y = i~t sin v- acos v c/v.
On v~olt qui'auix ge'neratrices rectilignes de la surface, de'finies
par la relation v consL t, correspondent des droites du plan;
par consequenti, les trajectoires orthogonales des ge'neratrices ont.
pour transforme'es les courbes paralledcs, traj ectoires ortb ogonales
des droites dui plan. A l'are~te de rebroussemerit, it -or, de la
de'veloppable correspond l'enveloppe de ton tes les droites du plan.
Tous ces re'sultats, que nouis ne flots arretons pas 'a ve'rifier, soul
bien d'accord avec. les operations mecaniclues par lescluelles on
realise le d6veloppement de cette classe si importante de surfaces.
71J. Nons venons d'ind~iquer un moyen d'appliquer la surface
de'veloppable sur un plan. Il est nainrel de se demander s'il n'v en
a pas d'autre, et si-, par exemuple, on ne pourrai-t pas re'aliser cette
application de la surface en faisant correspondre a-ux generatLrices
rectilignes de la surface des lignes courbes du plan. Le raisonnement suivant donne la re'ponse 'a cctte question.
Supposons que l'on ait, de deux rnanie~res diff~rentes, applique'
la de'veloppable sur le plan, c'est-ah-dire qu'on ait mis son e'lement
line'aire sous les deux formes
c/S2 c/ 2. c/-y2, c/si =C/X'2 c/yI;
on en de'duira
1l est aise' de re'soudre cette equation de la manie're la plus ge'ne&rale; on pent, en effet, la remplacer par l'un ou l'autre des sys,Lemes
(2) x/' cosc c/d - sinicc c/y, c/x'CO coa c/x - sinE c/y,
c/y' sinctac/x — cos ~c/y, c/y'r sin a c/ - cos ic/y.