Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE I. - CHAP. VIII.

valeur commune des trois rapports precedents doit etre egale a
zero.
On devra done avoir
b' b' b:
a1 a = 3
1 2 3
et, par consequent, les equations (18) expriment les conditions
necessaires et suffisantes pour que la surface soit developpable.
Enfin, en substituant ah une fonction convenable de v, on
pourra reduire le coefficient A a l'unite. Nous avons done, comme
forme reduite de l'dlement,
(19) ds2 = du 2 I [(u - )-'- 32 ] dV2
dans le cas des surfaces gauches, et
(20) CIds2 = — d2 ( u - )2 dV2
dans celui des surfaces developpables, a et, designant des
fonctions de (').
70. De la forme de l'element lineaire des surfaces developpables
on deduit facilement qu'elles sont applicables sur le plan.
Reprenons, en effet, la formule (20) et decomposons le second
membre en deux facteurs
du -t i( u - x) dv,
du - i( t - a) dv.
Si l'on multiplie ces facteurs respectivement par eiv, e —i, ils
deviennent des differentielles exactes et l'on peut poser
eiv [ du -4- i(u - a) dv] = dx -+ i cly,
e-iv[ du - i( t - 2) dv] = dx - icly.
On a, en integrant,
( X + iy = ueiv - if eiv dv,
1 x - iy = ite-iv -f f ee-v dv.
(1) Cette theorie laisse toutefois de cot6 les surfaces reglees imaginaires pour
lesquelles on a
a -+- a -H a = o,
et qui sont engendrees par des droites rencontrant le cercle imaginaire de l'infini.