Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

NOTIONS SUJR LES COORDONNEES CUJRVILIGNES. 83
proble'me de la recherche des surfaces applicables sur une surface.donne'e est un des plus inte'ressants, mais aussi un des plus difficiles, que l'on rencontre, dans l'application de l'analyse "a la Ge'om'trie. Dans le cas qui nous occupe, l'hMicoide est applicablesu
l'alysse'ide, les ge'neratrices rectilignes de la premiere surface
correspondent aux meridiens de la seconde et les hlices aux
paralle'les.
69. Revenons aux surfaces re'gle'es. Ii esi aise', lorsqu'on a seulement 1expression (i 5) de e'~ldnment line'aire, de distinguer les
surfaces gauches des surfaces de'veloppables.
Eu effet, on a identiquement
AU u-i — 92B u -+- C =(a' it /4,V) 2 -~- (a'~ it -i — b/4)2 -v (a' it -~- b/4)2.
On voiL donc que le trinorme premier membre sera une somme
de carre's, et l'on aura
B2- AC< o,
taut que les 6quations
(i 8) a1 2_ a 3__
bf~ - b4'
ne seront pas satisfaites. Or ces dernie'res equations n'ont lieu que
dans le cas o A la surface est de'veloppable.
En effeL, les equations (1 2) nous donnent
dx =a, idu(a1u -4-b ) de,
dy =a2dtt-+ (a'u bt H-/) c/v,
d~z a3dut+ (a' u ~b ) dv.
Exprimons qu'il existe un point de la ge'ne'ratrice qui de'crit
une couirbe tangente a cette ge'neratrice; il faudra qu'en prenant
pour u une fonction convenable de v on ait
dIXdy dz
a, a2 a3
ce qui donne, en remplacant dx, dy, dz par leurs valeurs,
a,, a9 a3

Si l'on Lient compte de e'6quation D - o, on trouvera que la