Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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82 ~~~~LIVRIE L; - CHAP. VIII.

rairices, on aura
D =,
et 1ele'dmeni linelaire prendra la forme plus simple
(i5) c/S2 = /U2 ~~ (A it'' ~ 2 B it ~~ C) dc/2.
Dans cc cas le sysie~me de coordonn~e's sera forme6 des ge'nerairices rectilignes c consL. et de leurs trajecLoires orib~ogonales.
Pour ramener 1ele'dm-ent line'aire general, donne' par la formule,
(I 4," la forme (i 5'), il suffira de substiLuer 'a itla variable suivante:
t'~ =ut-i- f D c/v.
On reconnali ainsi pie, dans touLes les surfaces re'gle'es, les.
traj ectoires orihogon ales des ge'nerairices rectilignes sout determine'es par une.simple quadrature.
68. Conside'rons, premple, la surface form'e par les normales
principales de l'hdlice ou he'licoi'de gauche a" platn dirceteur.
Elle est de'finie par les trois equations
d'om\ Von de'duit
(17/) c/S2 (a2 -- um2) dV2 -+- c/u2.
La comparaison des formuLles (7)cet (i ~)nous montre que, si Fon
fait~ correspondre sur Fhh'lico~de ei sur l'alysse'ide les points pour
lesquels les valeurs de it et de c soul les Memes, les arcs de deux
courbes correspondautes seront rigoureusemeut egaux. On dii
dans ce cas que les dleix s1urfaces sont app licables Vl'ne stir
/'autr-e. Ii est clair, en effet, que Si l'ou considerc une surface
comnme un tissu flexible ci inextensible, et si l'on admnet, la possibilite' de de'former cetie surface sans de'chirure ni duplicature,
la longaeur de toute coimrbe trace'e sur la surface sera demeur~ee
invariable dans la deTormaiion. Sans examiner la question de
savoir s'iI est, possible d'amener la preumiere surface 'a coYncider
avec la seconde par uine suite continue de deformations, on dii que
deux surfaces soul applicables l'une sur l'autre quand elles satisfoui 'a la definition ge'ome'trique que nous venous de donuer. Le