Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

NOTIONS SUR LES COORDONNElES CURVILIGNE. S.

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pour expression
r' =- a sin?,
on voit que l'element lineaire de la surface engendree par la
revolution de la courbe aux tangentes egales autour de Oz. sera
donne par la formule
ds2 -- d — - r2d2 = a2(cot2 cd l-+- sin2? dCv9).
Posons
cot c d? = dct;
ce qui donne
sin -- el,
et nous aurons
(8 ) ds2 = ca ( du2 + e21l dc )..Remarcquons d'ailleurs que, dans le triangle rectangle RPM,
on a
MQ. QR = a2.
Les centres de courbure principaux de la surface sonLt eidemment les points M et R; done les rayons de courbure principaux satisfont a la relation
RR'= a c2.
Mais cette propriete ne caracterise nullement la surface, il est
aise de le demontrer.
Proposons-nous, en effet, de determiner toutes les surfaces
de revolution dont les rayons de courbure sont lies par la relation
precedente. Par un calcul sur lequel nous ne reviendrons pas ici,
on trouve que les variables z et r doivent satisfaire I la relation
differentielle
1 2/ 2,2 - -
(9) cld - - - a71 a -b2 C
b designant une constante arbitraire qui peut prendre toutes les
valeurs possibles. L'element lineaire de la surface est donne par
la form le
(' 2 C7dr2
ds2, r2 dv'.
7-2 - a2 - b2

Supposons d'abord qeu b soit (gal it a. On relrouve alors ia