Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

NOTIONS SUR LES COORDONNEES CURVILIGNES. 75
pourra evidemment, sans changer ces courbes, remplacer iu et
par les variables ut, t, qui seront des fonctions quelconques des
premieres
UYl= ^ (Zl)? (i )'
C'est une remarque cont on fait souvent usage et qui permet
quelquefois de grandes simplifications.
63. La methode de Gauss repose essentiellement sur l'expression
de l'arc d'une courbe quelconque tracee sur la surface.
Supposons les coordonnees rectangulaires x, y, d'un point de
la surface exprimees en fonction des deux variables u et c. L'expression d'un arc de courbe trace sur la surface sera donnee par
la formule
(I) clds = E duc2 -, F cld dv - G dc,
oil i'on a; (0) ( )(Ox 0z)
) F x,O ()y Oy )z 0z
Ou o ' Oc u v Ou () 0'
0v G/0o ([)v ~() '
Nous appellerons, pour abreger, c/s l'eled ent lineaire. Nous Ie
mettrons aussi sous la forme
(3) cls= A dclC - 2 AC cos CduC c1v - C2 dC2;
et 'on aura, par consequent,
F
(4) x -C 7/, = Cv/ os
V'E VG
Les formules (2) montrent que Adui est l'arc de la courbe
v - const., C do l'arc de la courbe u = const.; enfin a est l'angle
sous lequel se coupent ces deux courbes au point considere. On
aura done
F — = o
toutes lcs fois que l'on emploiera des coordonnees curvilignes
rectangulaires. II resulte egalement des formules (2) qule i'dlement