Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LIVRE 1. - CIAP. VII.

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on A, B, C ont pour valeurs
A= p +...,
2B p= p 4 1 -i-..,
C= piL *....
Si l'on considere les trois equations (7) commec determinant les
inconnues A, B, C, leur dLterminant sera (ducl - dvS11)3, et, par
lyvpothese, il ne sera pas nul. On aura done
A B = C = o,
ec, par consequent, l'equation (5) sera identiquement satisfaite.
On arrive aux memes conclusions par un raisonnement beaucoup
plus simple. Si les deux droites D, A se coupent, leur point d'intersection aura une vitesse nulle dans tons les deplacements. On
devra done avoir, si l'on dsigne par x', /', ' les coordonnees de ce
point relativenment aux axes mobiles,
+ q z' -ry' = o, l + qj Z'- 7i'I1 = o,
(8) ' g -t- rx']-z'o, -- o, g X - ptz" = o,
i -py- q'x'=o, (I -pPy'- q' = — o,
et il n'est pas difficile de deduire de la les equations
A o — -= o, C = o.
MIais voici la consequence qui constitue le theoreme de AI. Ribaucour.
Supposons que, pour toutes les valeurs de u et de v, il v ait des valeurs de x',y', z' satisfaisant aux equations (8). Le point (x', y, z'),
considcer comme appartenant au systeme mobile, decrira une
surface (s) que nous regarderons comme faisant partie de ce systemne. Si l'on rapporte le meme point aux axes fixes, il decrira
une surface (S). Donnons a uI et 5a des accroissements dl, dv;
le point se deplacera sur la surface (S) et decrira un arc ifiniment petit dont les projections sur les axes mobiles, donnees par
les formules (4), seront, en te-nanct compte des equations (8),
dx' cly, cld'.
Or ce sont la les projections sur les mmes axes du chemiin diecrit
par le point considere sur la surface (s). Ces deux chemins ayant
toujours menme direction et meme grandeur, on voit que les deux