Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DES DEPLACEMENTS A DEUX VARIABLES.

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car cette normale, etant perpendiculaire a tous les dle placements
du point considere, l'est en particulier a ceux que prend le point
dans les rotations, et par consequent elle rencontre necessairement
les axes de ces rotations.
dr;
58. L'equation (5) est du second degre par rapport 'a dt; elle
pourra done avoir ses racines imaginaires, et alors les deux mouvements qui se reduisent a des rotations seront certainement
imaginaires; elle pourra aussi avoir ses racines egales. Nous ne
discuterons pas tous les cas qui peuvent se presenter; mais nous
etudierons les deplacements pour lesquels on sail a priori qu'il
existe ceux deplacements se reduisant a des rotations autour
ce deux droites distinctes et concourantcs. En se placant dans
cette hypothese, M. Ribaucour a obtenu un elegant theoreme (4)
que nous allons deinontrer.
I1 est aise de reconnaitre que, dans le cas qui nous occupe, le'quation (5) doil etre une identite. Designons en effet par -7, les
deux valeurs de c relatives aux rotations considerees; on aura
dv
necessairement
(p d -+ PI dv)(d du +- pd1 i)+... = o,
(p 3u -- pi 8V)( + 8 i e 4)-+... 0,
Les axes de ces rotations sont definis par les formules (6). La
condition pour que ces axes se coupent s'ecrit de la maniere tres
sym triq ue
(pdu - p I dv)( O u Jr- 0) -i) (pu i-i-p Iv)(S du -+- 0\dv) +... = o.
Les trois equations que nous venons d'obtenir peuvent se ramener
au type suivant:
A rdl2- 2 B d dv +- C dvc = o,
(7) Ao2t- 2B co( -+ CS2 = o,
A du ct B (du3 - 4- Cdv t I) - CdvSv - o,

(1) RIBAUCOUR, Sur la deformationl des surfcaces (Co01mptes renzdus, t. LXX,
p. 33o).