Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE I. - CHAP. VII.

57. Nous allons faire usage des resultats precedents pour demontrer un theoreme important relatif aux deplacements a deux
variables (').
Si ]'on considere le systeme mobile dans uneposition determinee,
il peut s'en ecarter d'une infinite de manieres; les rotations et les
translations correspondantes au mouvement le plus general qu'il
puisse prendre sont donnees par le Tableau (3). Cherchons si
l'un des mouvements infiniment petits que l'on obtient ainsi pent
se reduire a une simple rotation.
11 faudra pour cela que l'on ait (n~ 3)
(p du -- pi dv) ( du -l- I dv)
-+-(q du -- ql dv)('i du -- r- dv)q(r du -- r1 Cd)(d du - 1i cdv)= o.
Cette equation fournit deux valeurs, en general differentes, de
1d I1 y aura donc, en general, deux mouvements diff6rents, reels
ou imaginaires, qui se reduiront a une rotation. L'axe de rotation
correspondant a chacun de ces mouvements sera defini par les
equations
du -- dv - (q du -- q dv)z-( r du -+ r dv)y - o,
(6) * du c- lr, dv + ( r du +- r, dv)x - (p du + p1 dv ) z o,, du + — 1 dv + (p du -+ p dv)y - (q du -+- q 1 dv) x = o,
du
oiu l'on remplacera d- par la racine de l'equation (5) correspondante au mouvement considere.
Le resultat precedent a une consequence importante, qu'il serait
aise de verifier par un calcul direct. Puisque deux des mouvements
se reduisent a des rotations autour de deux droites, que nous appellerons D, A,, la normale a la surface clecrite par un point quelconque dut systeme invariable devra rencontrer chacune de ces
dro ites;
(1) Ce theoreme a ete enonce en i866, dans le Journal de Liouville ( 2e s6rie,
t. XI), par M. Mannheim, qui en a fait depuis l'objet d'une etude approfondic.
On ignorait, a cette 6poque, qu'il avait ete donnd, onze ans auparavant, par
MI. Sch6nemann, dans un article present6 par Steiner ai l'Acad6mie de Berlin
(Monatsberichte, i855). C'est M. Geiser qui, en i880, a appeld l'attention sur Ic
travail de Al. Sch6nemann et l'a fait r6imprimer dans le Journal de Cielle, t. XC,
p. 39 a 48.