Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DES DEPLACEAMENTS A DEUX VARIABLES.

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56. Reciproquement, lorsque les douze quantites i,p,.. satisferont aux equations (2), en meme temps qu'aux equations (5)
du Chapitre V, il existera un deplacement dans lequel elles seront
les rotations et les translations; car nous savons deja qu'on pourra
determiner les neLf cosinus; et de plus les equations (i), qui seront
compatibles en vertu des equations (2), nous fourniront par des
quadratures les coordonnees de l'origine des axes mobiles. II est
inutile de repeter ici que tons les mouvements obtenus se reduisent au fond a un seul, observe par rapport a des axes differents.
I] est evident que, si, au lieu de considerer toutes les positions du
systeme mobile qui correspondent aux differentes valeurs de i et
de v, on suppose que z et v soient des fonctions d'un seul parametre a, les rotations et translations relatives a ce mouvement
seront respectivement
(dif dV cdit dv cdl dv
i p- -- pi l -7 q ~~ -- 4q l dx ' 7- -+ 7'1 -- 7
( 3) ci dl t dv dcl dv du dv
eli e^c'i d dEr Ii
et les projections str les axes mobiles de 1'element de courbe
decrit par in point quelconque Ml donL les coordonnees sont
x, y', par rapport aux axes mobiles seront
dx -- ie -:- i cdv - (q cdu ql dv) z - ( r dit -' 7' dvi)y,
(4) < dy - ' du -i- r I dv -- ( r dt -- dv )x -- (p d6 -+ pi dv ) z,
dz -d- p dt - - dt - - ( q dclu - ql dv )x.
En d'autres termes, si a. etait le temps, on aurait les composantes
de la vitesse par rapport aux axes mobiles, en divisant les trois
expressions precedentes par dc.. Nous ferons souvent usage de cette
relmarque, qui dispense de beaucoup de calculs et permet de laisser
de c6te tout ce qui concerne les axes fixes.
En terminant ici ces notions preliminaires sur le mouvement,
nous nous contenterons de remarquer que la methode suivie s'applique sans modification au cas oi la position du systeme mobile
dep)endrait de trois ou meme d'un plus grand noinbre de paramIetres.

dans la quatri6mie et la cinquieme Lecon des Vorilesungez iiber Mlcitlccatisclie
Physi/k, I876.