Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE I. -- CIAtP. VI.

3e~. Designons toujours par a, b, c,... les neuf cosinus satisfaisant 't ces equations (i) et (2). On aura,d ca - (D- - ~c) du -c (6br - cq1) dv,
(Tlj) c/b dc -- - cbp ) cld -; ( cp1 -- a1 ) drv,
dc (aq -b b) du -. (aqj 1 — bp1) c(,
et les relations analogues que l'on obtiendrait en accentuant ca,
b, c. Si l'on joint a la premiebre d'entre elles les equations qui
donnent cia', dcl", on obtiendra, en faisant la somme des carres,
(15) cld-ca2l -t- dcIt" -a (q dc i-t qj dv)2 -- ( r dc -- r dr)9.
Or ac, a', a", elant lies par l'equatioll
(c92 --- ca'2 + 2 - T
sont les coordonnees d'un point d'une splhere, et il est mrneme evident que cette sphere est celle qui est decrite par le point sitlue
la distance I sur l'axe mobile Ox. Si l'on considere, ici encore,
cette sphere conmme une surface reg'l&e, et si l'on pose
at- - it' C a- ic' 1
(] J ) - T i" -) 1 - y,
I ct"l I --.r
I'iquation (. 5) prendra la forme
d 4x dy7
(1, --- -'-Af ( =c ( q Cd -- q t dis )2- - ( / - r1 dc )2.
( y))2..
Si l'on pent dcduire x, ' de cette equation en fonction de a et
de c,, on aura c, a', a" et les formlules, telles que les suivantes
)7'br — cq, - )7'- CCq,
feront connaitre, par des calculs elmenieltaires, les six cosinus qni
restent t determsiner. Ainsi tout se reduit ia trouver les valeurs
de x el dte y, forlctions de I et et e, satisfaisant 'a ]'equation (17).
Decomposons le second memlbre de cetle dquation en n deux factecurs que nous cgalerons a. zero. Nous aurons ainsi deux equations
(li feretIn tielles
8 q dtt -- qi d - i/(I' di t 1 ri d) - o,
{ q cltd -- ClS d, -[( ' c.s' - ' d\'l) -- o.