Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE I. - CIIAP. VI.

bien clue des deux equations precedentes,
(6) - C 5 -( - b ) )0,
cc qui donne, par l'intgration.
2 f"(c ( b) (td
0 -0 e..i..
00 designant la valeur de 0 pour u -- Uo. Si done 0 est nulle pour
ic =- Uo elle le sera pour toutes les valeurs de u.
Ce point etant etabli, faisons itu = 0 dans la seconde des equations (3), et d6terminons la fonction &' de v qui satisfait a cettL
6quation et se recduit a 50 pour' -- (-'o. On aura done
--- - 2 1' - - 1 2
pour u -- o0.
Considerons ensuile la premiere des equalions (3), et dclerm-inons la fonction o' qui satisfait ia celte equalion et se rdclui it a'
pour u - UQ0. D'apres ce que nous venons de deimontrer, cette
fonction T satisfera aux deux equations; car la valeur de la fonction que nous avons designee par 0, relative it la solution ainsi
dlterminee, est, nulle pour uit t 0 et, par consqLuent, elle resiera
nulle pour toutes les valeurs de it. La fonction 5 qui satisfait aux
deux equations conlient, d'ailleurs, la constante arbitraire 7o.
Toutes les operations cue nous venons d'indiquer sont possibles
et n'exigent aucune quadrature quand on. sait in tLe'Ter separemeni
chacune des equations (3 ). Ainsi l'on saura dclerminejSr, sans integration, la solution commLune aux deux cequations quand on aura
obtenu l'integrale de chacune d'elles.
50. Nous allons maintenant idcmontrer quellqus propositions
qui rendent plus facile l'integration simultanee des equations (3).
Supposons d'abord que l'on connaisse une solution commune
de ces deux 6quations - - x. En posant

I
-- - - r ~- )
C)