Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DEPLACEMENT A DEUX VARIABLES INDEPENDANTES.

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42. Ce point etant etabli, supposons qu'il s'agisse de trouver les
solutions les plus generales communes a la fois aux equations (i)
et (2). Nous allons voir qu'il existe une infinite de valeurs de c., 3,
Y satisfaisan.t a ces equations, et que chaque systeme de solutions
comnlunes est comnpletement determine si l'on cdonne les valeurs a.o,
3o, 0o dte a,, Y qui correspondent aux valeurs initiales u0, ('o de
et c de v.
Supposons en effet que 'on remplace ui par to dlans =,, y. Les
solutions cherchees se recluiront a des fonclions de e,.'i, y'. Or
ces fonctions de v sont pleinement determin.ees par la condition
de satisfaire aux equations (2) ot l'on a remplace ut par u0, et
d'admettre pour v _ V0 ]es valeurs initiales ao, 30, o,0. D'aure
part, c,, y sont des fonctions de ct qui doivent satisfaire aux
equations (i) et se reduire a c',, y', pour u- U0. Elles sont
done, elles aussi, completement dceterminees par cette double
condition, et il nous suffira de montrer que ces fonctions.,,, '
satisfont egalement au systeme (2).
Or ce fait est a peu pres evident; car, si ]'on reniplace ui par o0,., 3, y se reduisent alors a c', {',: ' et satisfont, pour cette valeur
particuliere de t, aux equations (2); par consequent, elles y satisferont pour toutes les valeurs de it, d'apres la proposition que
nous venons de demontrer.
43. II y a done une infinite de systemes diff6rents de solutions
communes et la solution la plus generale depend, on le voit, de
trois constantes arbitraires. D'autre part, si, Fs,; a,,,, y, designent deux systemes differents de solutions, les fonctions
a2 -2 -2^n XXi P y1, -'2 i
demeureront constantes pour toutes les valeurs de it et de v; la
demonstration se fait ici comme dans le cas d'une seule variable.
Par suite, si nous prenons trois systemes differents de solutions
(, b, c; a', b', c'; d, b', c", dont les valeurs initiales soient les
neuf cosinus qui dlterminent la position d'un triedre trirectangle
(T') par rapport aux axes fixes, on aura, pour toutes les valeurs
(ie t et de:, des relations telles que les suivantes
(.72 1 2) — c;' = r, CA' -'- h)' c — cc' — o,