Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE I. - CIIHAP. V.

On a en effet:\ a )3 q) w)! ')7 )
o 02A r ( 2 0 ' or ' 3 Oq
b Ou O ~ O O lt
-1o 7~~ '~'
0 02 Oy Or1 Oqi
O)()e O \tt za O Itte Ot
o,, en remplacant par ers valeurs et tenant compte des
(Ccllations ()),,)A
Olt
t; ~~) =13 r ---- (C q.
On aura de mmine, en effecluant des permutations,
=- C p - A7,
(6') < ( -
'Su q- 13p;
et, par consequenL, A, B, C donnent bien une solution nouvelle
du systmlle (i). Le systeme (6), etant du premier degre par rapporl
aux cldrivees des fonctions A, B, C, admet, evidemment, une seule
solution pour laquelle les valeurs initiales de ces fonctions, correspondantes i une valeur donn.ee ct0 de t, sont des quantitls A0,
Bo, Co donnees ci l'avance ('). Et il est encore evident que, si ces
valeurs initiales sont nulles, la solution unique qui leur correspond
est celle qui est determinee par les equations.A B -= C o.
Nous pouvons done enoncer la prcposition suivante: Si l'oii
colinactit une so lttion dut sys1teCe (i) qui, polee dcans les equatiols (2), scatisfctsse Ct ces equattions qltctnd onl dclonne a i u ite
valetur palrticuliere iUo elle y satisfera egaclemenzt pour/ toullc
c (tle tl de u.
(1) La proposition que nous admeittrons ici, t clans les d6veloppements qui vonl
suivre, a savoir clue, lorsqu'un syst6me d'equations diff6renticlles du prcic( r,)odre est resolu par rapport aux dcriv6es des fonctions inconnues, il admet une
scule solution pour laquelle les valeurs initiales des fonctions inconnues sol
donnees, est due, conme on sait, it Cauchly qui l a dmnontr6e dans toute sa g6n(ralit6. Elle admeL, a la v6rit6, des exceptions, correspondantes aux cas on leis
d6rixes des fonctions inconnues sc pr6sentent, en totalite ou en partie, sous une
fonm)nc indtcLrminee ou infinie. MIais nous n'avons pas, evidemment, i nious
priocctluper de ces cas cd'exception dans les questions qui nous occupent.