Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DEPLACEMIENT A DEUX VARIABLES INDEPENDANTES. 49
nouvelle et l'on sera conduit au systeme
Op Opl
d _ dq1 = -l_ p7l,
O()r Otr
ol,- z = p7- i-1ll,
do dcc
(qui joue un role fondamental dans la theorie (1).
41. Reciproquement toutes les fois que l'on connaitra six quantiles p, q, r, p1, q,, I r, satisfaisant aux equations (5), il existera
un mouvement dans lequel ces six quantites seront les rotations.
Pour etablir ce resultat, il suffit e'videmment de montrer que 1'on
peut obtenir des valeurs des neuf cosinus satisfaisant a la fois aux
systemes (i) et (2). La demonstration de cette proposition essentielle pourrait se deduire des theoremes generaux relatifs aux
equations aux derivees partielles; mais on peut aussi l'obtenir
directement de la maniere suivante.
Je dis d'abord qu'en supposant les equations (5) satisfaites, on
pourra deduire de tout systeme de valeurs (a, p, y) satisfaisant aux
equations (i), mais non aux equations (2), une solution nouvelle
des equations (i).
Posons en effet
A do 7 I yql
dO
B -p- y i,
do= as m r q s q an's,
C= ^- a l -4-P
Nous allons montrer que q les quantites 1A B, C, qui ne sont pas
touLts nulles par hypothese, verifient les equations (r).
(') Ces dquations ont det obLenues (Aznzales de l'Ecole Normnzale, t. IV, Ir sdrie,
p. io8) par M. Combescure qui a employd le premier des considdrations cindmatiques dans la ddmonstration des formules relatives a la thdorie des surfaces ct
aux syst6mes orthogonaux. Nous les avons donnees de notre c6te, avant la publication du MIemoire de M. Combescure, dans le Cours que nous avons fait
en I866-67 comme suppleant de AI. J. Bertrand, au Colleg de lFrance.
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