Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE I. - CHAP. V.

naissance au systeme
(2) _ _ P1-Yq, ^ = _ _V - Ppi,
(a) O~ = ~-3- yqj, Ov -- YP' — "r1, -o -'q- q P-,
tout semblable au premier. I1 resulte immediatement de la que, si
l'on considere un deplacement du systeme dans lequel u et v sont
des fonctions donnees de t, on aura
dclc~i dR dy
d = R —y Q, — R, t -- Q —'P,
P, Q, R ayant les valeurs
cdu dv du dv du dv
(3) p =P a/+- P Q = +-' n = "
(3 ) P dt - piw-t q Wt-dt q It R = r dt + l 7i Yt
et, par consequent, ces trois quantites P, Q, R seront les rotations
relatives au mouvement considere. Les projections sur les axes
mobiles du chemin ou de l'arc infiniment petit decrit, dans ce
mouvement, par un point dont les coordonnees relatives a ces axes
seraient x,, z, auront pour valeurs
dx 4- ( q du 4- q dv)z - (r du 4- ri dv)y,
(4-I) < dy- (r du -+ rdv ) x-(p du — p1 dv)z,
dz -- (p du + p dv )y -(q du - ql dv) x.
Nous allons d'abord etablir certaines equations aux derivees
partielles auxquelles satisfont les six rotations.
Egalons les deux valeurs de a-ua que l'on peut obtenir en differentiant les deux premieres equations des systemes () et (2). Nous
aurons, apres avoir remplace les derivees de f, y par leurs valeurs
tirees de ces deux systemes,
07- [ dr. r I (dq dq\
3 ( c l +- qp) = (p - qI- rp pri
Comme cette relation doit avoir lieu quand on remplace [, y,
soit par b, c, soit par b', c', soit par b", c", il faudra que les coefficients de B et de y soient nuls separement. Nous aurons ainsi deux
equations. En egalanl de meme les deux valeurs de O-Tv',-( deduites des systmes () et (2), n obtiendra une sele duatio
duites des sysLemes (i) et (2), on obtiendra une seule equation