Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

APPLICATIONS DE LA THEORIE PRECEDENTE.

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a"; c, c', c", et nous donnent
(LG) V/n v - ~ ( ds ds)
n l,, I cIs d J\
6a" = - 4-" 7 (X' dx _ a d )
nz/724 n2 ds ds
ll?, di" JX
Des formules (i4), nous deduisons d'ailleurs
cls2 = (i2 z- n2) (d -- i+ '2 + ca"2).
On aura done les coordonnees rectangulaires d'un point de la
courbe par l'emploi des equations
x = fa ds, y fa' ds,. = f dcls,
ce qui conduit au resultat definitif
/ dc = V/cx -- d2'2 -+ d/'x",
)x = f a d -+- nf(a" d:' - c' dci"),
y = 7nf a' ds 4- n fS( ds'"- a" dx),
z = 7Tf "C dc 4- nf(( dCi - a dri').
Suivant que l'on fera nt ou n egal a zero, on retrouvera les formules (9) ou (io); ca,.', o!" sont d'ailleurs, nous l'avons vu, trois
fonctions d'une seule variable assujetties a l'unique relation
L(e1~s8) a C2 -+ ' a4- an2 = I.
Les formules precedentes s'etabliraient aussi tres aisement par
l'emploi de la Gdometrie.
39. Des trois systemes (9), (IO), (I7), le plus simple est le
systeme (9), qui determine les courbes dont la torsion est constante. Nous allons les appliquer a la recherche de la courbe i
torsion constante, dont l'indicatrice spherique est une conique
spherique. On reconnaitra aisement que, si par le centre de la
sphere de rayon I on mene une parallele a la binormale, cette
parallele coupera la sphere en un point dont les coordonnees
seront c, c', c, et qui decrira une ellipse spherique supplenentaire de l'indicatrice spherique.