Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE I. - CHAP. IV.

au temps; puis, on determinera les coordonnees rectangulaires x,, z du point de la courbe, sommet du triedre, par les formules
dcx dy c dz,
d = a, d = a', I-= a,
CIs s ds
qui donneront
x-= f a ds, r = f a'ds, z =f a"dcs.
36. La merthode que nous venous d'indiquer, et qui est generale,
est susceptible de simplifications dans certains cas particuliers.
Supposons, par exemple, que lon demande les courbes dont la
torsion est constante. Les formules de M. Serret
dc b dc' b' dc" b"
cis T ds: ' ds
nous donnent b, b', b" en fonction des derivees de c. Si l'on porte
ces valeurs dans les relations entre les neuf cosinus
a = b'c" — c'b", a'= b"c - bc", a" — bc'- cb'
on trouve
/,, dc', c"d
c = T c - c --
- Is cds /
(l d' _~c"
' dc dc)
a =: c c -y-ccs,
\ ids ds
a" = (c' - c
On aura, par suite, pour les coordonnees rectangulaires d'un
point de la courbe, les formules
x = fa ds = - f(c"dc' -- c' dc"),
y = f a' ds = zf(c dc"- c"dc),
z f a" ds= f (c' dc - c dc'),
c, c', c" eant trois fonctions d'une seule variable assujetties a
l'unique condition
C2 "4- Cr2 -- C 2 =- I.
Si, par exemple, on pose
C C' C
h k /I 2 k2+ -12