Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

506 LIVRE II. - CHAP. XII. - APPLICATIONS DE LA MI2TIIODE PRIECEDENTE.
le resultat de la premiere substitution aura le signe de
s I -4- 1n 4- n - i,
c'est-a-dire le signe de s, d'apres les inegalites (61). La seconde
substitution donnera un resultat
m/ -t- -/ —, --
/\I2?2 /V 12 _1 1
dont le signe est inconnu, mais ne depend nullement de s. On
pourra done choisir le signe de s de telle maniere que les resultats
des deux substitutions soient de signes contraires, et l'on aura
ainsi mis en evidence la quatrieme racine. En portant successivement les valeurs de c dans les formules (59), on determinera les
valeurs correspondantes de a et de b, qui seront reelles si l'on
prend pour cune des trois valeurs reelles, et purement imaginaires
comme c si l'on emploie la derniere racine. On voit que l'on sera
ainsi conduit ia quatre surfaces differentes, pouvant toutes &tre
acceptees.
Nous terminerons ici, avec le premier Volume de cet Ouvrage,
la theorie des surfaces minima et l'etude du probleme de Lagrange
et de Plateau. Ce probleme, qui doit compter au nombre des plus
interessants que l'experience ait jamais poses aux Geometres, est
aussi un de ceux dont les progres sont le plus etroitement lies a
ceux de l'Analyse moderne; le lecteur l'aura certainement remarque en etudiant les developpements, peut-etre trop rapides,
donnes dans les trois derniers Chapitres.

FIN DE LA PREMIERE PARTIE.