Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

APPLICATIONS DI VERSES DE LA IIETIIODE PRE~CEDENTE- 5oi
la formule (9) flous donnera
(47) Gil'- HG' — t2( t)2
flotis allons faire usage de cette relation.
Les fonchLons G, et H1 que no-Ls venous d'obtenir, et qui determinent la surface, dependent de six constantes arbitraires a, b, c,
oa, 11y.I est aise' de reconnaitre que la forme du systerne forme'
par trois droites d~pend e'galement de six constantes Si l'.on se
donne, par exemple, les angles de ces droites et leurs plus courtes
distances, on pourra d'abord construire le sy-ste'me forme' par les
deux premieres; et, pour d~terminer la Lroisie'me, il suffira de
mener 'a deux cylindres de revolution ayant pour axes ces deux.
droites une tangente commune, parailel 'a Line droite donne'e. It
semble done que la surface ditLerminie dans la solution precddente
pourra contenir trois droites quelconques:on peuLt meLtre ce
point essentiel hors de doute en employant la me'thode suivante,
qui a 6tf' donn~e par Riemanan.
308. Nous allons d'abord completer les remarques generales
presenLces an no 292, en les ten.edant au cas oii un secteur he'licofdal infini correspond aux valeurs de t infiniment voisines d'une
valeur sin-ulie're, cue nous supposer~ons, pour fix~er les idees, 6gale
a zeiro. Alors les deux inte'grales re'gulie'res G et Ii, conside'rees au
no 2.91, auront la somine de le'urs exposans ts ale 'a -; et CVon0
pourra poser
(48)G-A 22
En substituant ces valeurs de G et de H dans l'expression de o-,
on aura
comme dt doit etre purernent imiaginaire pour les valeurs
reelles de t, on voit que le produit AB sera ne'cessaireinenL reel.
Les coordonne'es x, yI d'un point de la surface s'obtiennent