Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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5oo ~~~LIVRE Ill. - CHAP. XII.

eL 1addition des Lrois 6quaLions preicedences nous donnera
71 '-+712-i — 71" — ' 2~
Si les deux premiers sommeLs sout 'a dis Lance finie, les sommes
17, 7f
- - eL -— i des exposanms pour ces deux, points devronL e'Lre
superieuxes ai - i. On aura done
el, par conseq~uenL,
Le troisie'me somnmeL sera done 'a linfini, et la surface aura un
secLeur minfi, de forme plus ou moins complique'e. Nous laisserons
de c616 l 'examen de touLes ces Hypotheses eL nous remarquerons
seulemenL que la surface peuL avoir Lrois secteurs infinis logarithmniques; ce qui aura lieu si 1'on prend
0 _, it 0, fln 2.
Le's trois sommeas souL aloirs de M eme espece el i'ou obLienL une
surface minima passanL par trois droites dont aucune ne reucontre
les deux atares. On a
et l'on determine les va~leurs de G, eL de H, qui font connaitre la
surface en subsLlLuanL 'a la place de 0, dans la formule (45), les
deux valeurs de G e de H de'finies par les equations (y). Il faudra,
dans ces eqjuations, remplacer u. eL v par les valeurs precedences
eL prendre pour la valeur de K2 une cons ataue re'elle quelconque.
Ii esL inutile en effeL de conserver 'a K2 uLne valeur arbiLraire puisqu'elle vienL s'adjoindre comme facteur aux constanLes a, b, c, qui
entrenL dans l'expression de 01. Si l'ou prend, par exemple,
- c
(46)K2
des six int6grales m~guli~res, au lieu d'ftre 6gale A' - i, devient 6gale As z6ro.
Nous laisserons de c6t6 1'6tude de ces cas exceptionnels qui conduiraient, si nous
ne nous sommes pas tromp6, Ac diff6rentes surfaces parmi lesquelles se trouve
celle qui a deux seeteurs infinis h~licofdaux et qui contient trois droites dont,
deux se coupent, lensemble de ees trois droites n'6tant d'ailleurs assujetti A
aucune autre condition.