Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

APPLICATIONS DE LA THEORIE PRECEDENTE.

39., f, y, nous aurons les equations
d OOf f f
clt qi d dt _7t
dt i07) q a P dq'
d'oiu l'on deduit
Pdc(+/) - q()- Cl( = o.
On a done, en integrant,
(i) O~p Tr y 1 7' -— /= consLt.,
equation a laqcelle il faut joindce la suivante
(5 ) ( Cf\ )- ( f -- _ -- = I\
qui exprime que ae,, y sont des cosinus directeurs.
En portant les valeurs de p, q tirees de ces equations (4) et (5)
en fonction de r, dans ul'ne des equations (3), on aura le temps
par une quadrature. Apres avoir obtenu ainsi les expressions de
p, q, 7 en fonction du temps, on achevera, an moyen d'une
seule quadrature, l'integration du systeme (i) dont on connait deja
la solution particuliere fournie par les equations (2).
La solution est, on le voit, toute pareille a celle que l'on a
donnee dans l'etude du mouvement d'un corps solide abandonne
a lui-meme; mais l'analogie est plus complete encore, si l'on suppose que la fonction f soil homogbene. Alors l'cquation (4) se
reduidt a ]a suivante
f(p, q, r) = const.,
et lon peut representer le mouvement en faisant rouler sur un
plan fixe la surface invariablement liee aux axes mobiles dont
]'equation, par rapport a ces axes, est
f(x, y, ) = I.
Si l'on suppose que f soit entiere et du second degre, on retrouve
ainsi la solution de Poinsot.