Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

APPLICATIONS DIVERSES DE LA METHODE PRECEDENTE. 497
jointes de (M) et de (Ml,). La proposition que nous avions en vue
est done etablie dans toute sa generalite.
Les fonctions R et S pourront s'annuler, avoir des pcles ou des
points singullers essentiels. II en resultera, pour le segment (M1),
des singularites, ou des points de ramification, ou des nappes
infinies; certains sommets du contour pourront etre rejetes a
l'infini, ou ramenes a distance finie; il pourra y avoir des stationnements ou des rebroussements sur certaines parties du contour.
Nous n'insisterons pas sur toute cette discussion. Le point essentiel que nous avons voul mnettre en evidence, et qui est important
pour la theorie generale des equations aux derivees partielles, est
le suivant: on pent trouver une infinite de surfaces minima, dependant d'un nombre limite ou illimite d'arbitraires, qui contiendront toutes un contour de nature donn6e; en sorte que la condition, pour une telle surface, de contenir un contour donne ne la
determine pour ainsi dire pas et ne permet pas, en particulier,
de fixer la valeur ou la forme des fonctions arbitraires qui entrent
dans son integrale. Le probleme est susceptible d'une solution
precise et determinee dans le cas seulement ot l'on ajoute les conditions de continuite indiquejes dans tous les exemples precedents.
30M. M. J.-A. Serret, dans un article insere au t. XL des Comptes
ren.dus (1), a montre qu'il existe une infinite de surfaces minima
passant par deux droites, et que ces surfaces contiennent dans
leur equation une fonction arbitraire. On obtiendra toutes ces
surfaces en appliquant les remarques preceddentes au proble6me
particulier dn n" 267. Les helicoicdes obtenus dans cet article correspondent a des valeurs de H et de G qui sont de la forme suivante
G = t", H = t-1-7;
si on porte ces valeurs dans les formules (40), on aura
G-t2 T (Si t t \ - ( /it)
(1) J.-A. SERRET, SUI la moilndre surface compr ise eft/re des lignes droites
connees, znon situees canss le nz6eme plan (Comptes rendzds, t. XL, p. Io78; I855).
La m6eme question a aussi 6tL traitee par M. 0. Bonnet dans le MIemoire d6eja
cite Sur lemploi d'un nouveau systeme de variables, etc. (voir Journal de
Liouville, 2e sCric, t. V, p. 246).
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