Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

496 LIVRE III. - ChIAP. XII.
1R et S etant des fonctions de t qui seront reelles pour les valeurs
reelles de t, et que, pour plus de simplicite, nous supposerons
uniformes dans toute l'etendue du plan. Substituons au segment
(M) de surface minima determine par les deux solutions G ct H
le segment (M,) qui serait defini par les nouvelles fonctions
(I) G v= ( d+ SG I V=R( 4- SG[)
nous allons voir que ce segment (M1) et le segment (M) sont
limites lun et l'autre par des contours qui ne sont pas n6cessairement superposables, mais qui sont au moins de meme espece.
Soit, pour fixer les idees, (d) une droite du contour de (M),
qui correspond a un intervalle reel (ak, ak+ ) dans lequel varie t.
Si l'on amene l'axe des y a etre parallele a la droite (d), il faudra
effectuer sur G et H une certaine substitution lineaire dont la
forme a ete donnee au n~ 282; il faudra aussi soumettre Gi et H,
a la meme substitution lineaire, ou h une substitution dont les
quatre coefficients auraient leur signe change. Si done on designe
par g, h, g,, h1 les nouvelles valeurs de G, H, Gi, Hi, il suit de
la forme lineaire des relations (4 ) que l'on aura
- it T g clt
h — -: (V /v[) dh (
~ designant toujours l'unite positive ou negativc.
Cela pose, donnons a t la valeur reelle, comprise entre a, et
aA+i, qui convient ai un point de la droite (d); g et h seront toutes
les deux reelles ou toutes les deux purementimaginaires (n~ 287).
Puisque, par hypothese, R et S sont des fonctions reelles pour
toutes les valeurs reelles de t, gl et hi seront, comme g cet h,
loutes les deux reelles ou toutes les deux purement imaginaires.
Par suite, la portion du contour de (MA) qui correspond "a lintervalle (af,, a+, ) sera aussi une droite (d,), parallele a la droite (d).
La demonstration se ferait de la meme maniere si la portion consideree du contour de (M) etait situee dans un plan (P) normal ia
la surface: la portion correspondante du contour de (Mi) serait
dans un plan (Pi) parallele a (P) et normal aI (M,); on le reconnalt d'ailleurs presque immediatement en passant aux surfaces ad